Verificando fórmulas com dois quantificadores (

Os solucionadores SAT oferecem uma maneira poderosa de verificar a validade de uma fórmula booleana com um quantificador.

Por exemplo, para verificar a validade de $\exists x . \varphi(x)$ , podemos usar um solucionador SAT para determinar se é satisfatório. Para verificar a validade de , podemos usar um solucionador SAT para determinar se é satisfatório. (Aqui é um vetor de variáveis booleanas e é uma fórmula booleana.) $\varphi(x)$ $\forall x . \varphi(x)$ $\neg \varphi(x)$ $x=(x_1,\dots,x_n)$ $n$ $\varphi$

Os solucionadores QBF são projetados para verificar a validade de uma fórmula booleana com um número arbitrário de quantificadores.

E se tivermos uma fórmula com dois quantificadores? Eles são algoritmos eficientes para verificar a validade: são melhores do que usar algoritmos genéricos para o QBF? Para ser mais específico, tenho uma fórmula da forma $\forall x . \exists y . \psi(x,y)$ (ou ) e deseja verificar sua validade. Existem bons algoritmos para isso? Edit 4/8: Aprendi que essa classe de fórmulas às vezes é conhecida como 2QBF, por isso estou procurando bons algoritmos para 2QBF. $\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

Especializando-me ainda mais: no meu caso particular, eu tenho uma fórmula no formato cuja validade quero verificar, onde são funções que produzem uma saída de bits. Existem algoritmos para verificar a validade desse tipo específico de fórmula, com mais eficiência do que algoritmos genéricos para o QBF? $\forall x . \exists y . f(x)=g(y)$ $f,g$ $k$

PS: Não estou perguntando sobre a pior dureza, na teoria da complexidade. Estou perguntando sobre algoritmos praticamente úteis (da mesma forma que os solucionadores modernos de SAT são praticamente úteis em muitos problemas, mesmo que o SAT esteja completo em NP).

— DW
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não é essencialmente equivalente a

\forall x \exists y ψ (x, y)

$\forall x \exists y \ \psi(x,y)$

\exists x \forall y ψ (x, y)

$\exists x \forall y \ \psi(x,y)$

— Huck Bennett

Eu acho que o OP significa isso informalmente, em que ambos são difíceis para resolvedores SAT e que uma solução para qualquer um seria interessante

— Suresh Venkat

@ HuckBennett, acho que os dois têm dureza equivalente. (Prova:

é válida se s

é. Portanto, se tivermos uma maneira de testar a validade das fórmulas da forma

, também podemos testar a validade das fórmulas

\exists x . \forall y . ψ (x, y)

$\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

\neg \forall x . \exists y . \neg ψ (x, y)

$\neg \forall x . \exists y . \neg \psi(x,y)$

\forall x . \exists y . ψ (x, y)

$\forall x . \exists y . \psi(x,y)$

deixando

e testando a validade de

.) Mas de qualquer maneira, eu estaria interessado em algoritmos para ambos os casos.

\exists x . \forall y . ψ (x, y)

$\exists x . \forall y . \psi(x,y)$

ψ^{'} (x, y) = \neg ψ (x, y)

$\psi'(x,y) = \neg \psi(x,y)$

\forall x . \exists y . ψ^{'} (x, y)

$\forall x . \exists y . \psi'(x,y)$

— DW

@DW, não necessariamente, por exemplo, acredita-se que SAT e TAUT tenham a mesma complexidade.

— Kaveh

@chazisop: Eu acho que o OP está pedindo algoritmos / resolvedores

-SAT, não solucionadores gerais de QBF. No entanto, existem muitos solucionadores de QBF. Consulte a guia "solucionadores" no qbflib.org

Π_{2} / Σ_{2}

$\Pi_2/\Sigma_2$

— Huck Bennett

Respostas:

Se eu puder, publicamente, me exibir publicamente , escrevemos um artigo sobre o algoritmo baseado em abstração do ano passado para o 2QBF . Eu tenho uma implementação para o qdimacs, que eu posso fornecer, se você desejar, mas com a minha experiência, é possível se beneficiar muito da especialização do algoritmo para um problema específico. Há também um artigo mais antigo, Um Estudo Comparativo de Algoritmos 2QBF , que também apresenta algoritmos facilmente implementáveis.

— Mikolas
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Impressionante! Obrigado, Mikolas, este é exatamente o tipo de coisa que eu estava esperando.

— DW

Oi @DW feliz que eu poderia ajudar. Espero que você ache isso útil. O QBF é um animal bem diferente do SAT, então é preciso ter um pouco de cuidado, porque as coisas podem explodir com muita facilidade :-). Sinta-se à vontade para me escrever um e-mail se tiver alguma dúvida mais detalhada sobre o nosso trabalho.

— Mikolas

Eu li dois artigos relacionados a isso, um especificamente relacionado ao 2QBF. Os artigos são os seguintes:

Determinação Incremental , Markus N. Rabe e Sanjit Seshia, Teoria e Aplicações de Teste de Satisfação (SAT 2016).

Eles implementaram seu algoritmo em uma ferramenta chamada CADET . A idéia básica é adicionar gradualmente novas restrições à fórmula até que as restrições descrevam uma função Skolem exclusiva ou até que a ausência seja confirmada.

O segundo é a resolução incremental de QBF , Florian Lonsing e Uwe Egly.

Implementado em uma ferramenta chamada DepQBF . Não impõe nenhuma restrição ao número de alternância do quantificador. Começa com a suposição de que temos uma fórmula qbf intimamente relacionada. Baseia-se na solução incremental e não lança as cláusulas aprendidas na última solução. Ele adiciona cláusulas e cubos à fórmula atual e para se as cláusulas ou cubos estiverem vazios, representando unsat ou sat.

Edit : Apenas para uma perspectiva de como essas abordagens funcionam para os benchmarks do 2QBF. Veja os resultados do QBFEVal-2018 para obter os resultados da competição anual QBF QBFEVAL . Em 2019 não havia faixa 2QBF.

No 2QBF Track QBFEVAL-2018, o DepQBF foi o vencedor , o CADET foi o segundo da corrida.

Portanto, essas duas abordagens realmente funcionam muito bem na prática (pelo menos nos benchmarks QBFEVAL).

— Pushpa
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$\exists x \forall y \phi$ $D$ $a \in D$ $\neg \phi[a/x]$ $b \in B$ $a$ $\phi [b/y]$ $\phi$

— Samuel Schlesinger
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ϕ

$\phi$

ϕ

$\phi$

É bastante agradável, há uma analogia com a aprendizagem de máquina contraditório se você olhar de soslaio para e na verdade ele funciona para qualquer rede complementados, quando você tem um solucionador das sortes

— Samuel Schlesinger