Dimensão VC de esferas em 3 dimensões

Estou pesquisando a dimensão VC do seguinte sistema definido.

Universo tal que U ⊆ R 3 . No sistema de conjuntos R, cada conjunto S ∈ R corresponde a uma esfera em R 3, de modo que o conjunto S contém um elemento em U se e somente se a esfera correspondente o contém em R 3 .$U=\{p_1,p_2,\ldots,p_m\}$$U\subseteq \mathbb{R}^3$$\mathcal{R}$$S\in \mathcal{R}$$\mathbb{R}^3$$S$$U$$\mathbb{R}^3$

Detalhes que eu já sei.

1. A dimensão VC é pelo menos 4. Isso ocorre porque se são 4 cantos de um tetraedro, então ele pode ser quebrado por $p_1,p_2,p_3,p_4$$\mathcal{R}$

2. A dimensão VC é no máximo 5. Isso ocorre porque o sistema definido pode ser incorporado em com esferas em R 3 correspondentes a hiperplanos em R 4 . Sabe-se que hiperplanos em R d tem VC-dimensão d + 1 .$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^3$$\mathcal{R}^4$$\mathcal{R}^d$$d+1$

Aqui está um argumento fácil:

Suponha que haja um conjunto de 5 pontos que podem ser quebrados por bolas. Assim, para qualquer conjunto S ⊆ L , existe uma bola B r B ∩ U = S e uma bola B ' r B ' ∩ L = L ∖ S . Portanto, B ∩ B ' não contém pontos de U . Se B ∩ B ′ = ∅ , B e B $U$$S \subseteq U$$B$$B \cap U = S$$B'$$B' \cap U = U \setminus S$$B \cap B'$$U$$B \cap B' = \emptyset$$B$$B'$pode ser separado por um plano. Caso contrário, a interseção das superfícies de e B ′ é um círculo. O plano em que os círculos mentiras separa S de L ∖ S . Portanto, U pode ser quebrado por meios espaços, uma contradição.$B$$B'$$S$$U \setminus S$$U$

O mesmo argumento na dimensão superior mostra que a dimensão VC das bolas é igual à dimensão VC dos meiosespaços.

Minha solução está incorreta. Veja outra resposta ...