Contando o número de regiões espessas que se sobrepõem a um quadrado

Seja um quadrado unitário. Em função de , qual é o número máximo de regiões gorduras desniveladas aos pares com diâmetro pelo menos 1 que pode cruzar ?$S$$\beta$$\beta$$S$

Abaixo, fornecemos uma figura mostrando que para , o número máximo é 7. E quanto a ?$\beta=1$$\beta = 2, 3, \ldots, n$

Lembre-se da definição de gordura para regiões no plano. Dada uma região , deixar círculo de raio ser o maior circulo contido em , e deixar círculo de raio ser o mais pequeno círculo que contém . A gordura de é dada por , e dizemos que é gorda, para .$R$$C_1$$r_1$$R$$C_2$$r_2$$R$$R$$\frac{r_2}{r_1}$$R$$\beta$$\beta = \frac{r_2}{r_1}$

Por exemplo, se , então as regiões são círculos unitários e existem 7 círculos com diâmetro pelo menos 1 que podem se sobrepor aSsem se sobrepor. Na figura abaixo, representamos um quadrado unitário e 7 círculos unitários que se sobrepõem ao quadrado.$r_2 = r_1=\frac{1}{2}$$S$

Penso que o número máximo de regiões gordas separadas por pares que se sobrepõem ao quadrado deve estar fortemente relacionado ao empacotamento circular.

$\beta=2$

.

e eles podem ser embalados a uma distância do quadrado da unidade, obviamente, com muito mais força do que eu os descrevi.

Observe que a região real da esfera e da corrente é definida pela área verde, e o círculo externo é apenas um guia para descrever o fato de que essas regiões possuem gordura 2. Na verdade, a parte da cadeia da região pode "dobrar" para permitir mais regiões a serem embaladas.