Regra de eliminação baseada na unificação para igualdade

Alguns anos atrás, encontrei a seguinte regra de esquerda para a igualdade no cálculo sequencial:

$$\frac{s \doteq t \leadsto \theta \qquad \theta(\Gamma) \vdash \theta(C)} {\Gamma, s \doteq t \vdash C}$$

Aqui, $s \doteq t \leadsto \theta$ calcula o unificador geral mais $\theta$ para $s$ e $t$ , e, em seguida, aplica-se o substition à conclusão $C$ e todas as hipóteses no contexto $\Gamma$ .

O interessante dessa unificação é que ela equivale a encontrar uma substituição para variáveis ​​universais (isto é, skolem).

No entanto, não me lembro onde li isso e fiquei pensando se alguém poderia me ajudar a encontrar uma referência a ele.

Eu sempre atribuí isso a Regras de reflexão de definição de Schroeder-Heister, embora a idéia remova além disso a Girard e outros; a regra que você procura é uma instância da primeira exibição na Seção 4. Você também precisa de uma regra que diga que, se a instância de unificação for insatisfatória, a suposição de igualdade terá a força de uma contradição.

Uma descrição mais geral foi usada recentemente em muitos trabalhos de Dale Miller, David Baelde e da empresa (veja, por exemplo, Menos e maiores pontos fixos na lógica linear ). A formulação mais geral - que também não se origina de Miller et al - é que a regra é

$${\{\theta \in {\sf csu}(t,s) \mid \theta\Gamma \vdash \theta{C} \}}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}$$

onde é o conjunto completo de unificadores - o conjunto de todas as substituições unificadoras de e . Você também pode preferir a maneira equivalente de escrever esta regra que eu prefiro (veja aqui, por exemplo).t ${\sf csu}(t,s)$$t$$s$

$${\forall \theta. \theta{t} = \theta{s} \longrightarrow \theta\Gamma \vdash \theta{C}}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}$$

Em qualquer caso, em uma linguagem de termo com unificação decidível em que a existência de um unificador implica a existência de um unificador mais geral, uma das regras acima pode mostrar-se equivalente a ter essas duas regras:

$${{{\sf no~mgu}(t,s)}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}} \qquad {{{\sf mgu}(t,s) = \theta \quad \theta\Gamma \vdash \theta{C}}\over{\Gamma, t \doteq s \vdash C}}$$

(PS Frank discutiu isso em seu curso de programação lógica nas aulas 6, 7 e 8, que podem ser de onde você se lembra.)