Incorporação média de distorção

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$(X, d)$ $(Y, f)$ $\mu : X \rightarrow Y$ $\mu$

ρ = max_{p, q \in X} {\frac{d (x, y)}{f (μ (x), μ (y))}, \frac{f (μ (x), μ (y))}{d (x, y)}}

$\rho = \max_{p,q \in X} \{ \frac{d(x,y)}{f(\mu(x), \mu(y))}, \frac{f(\mu(x), \mu(y))}{d(x,y)} \}$

Existem outras medidas de qualidade: Dhamdhere et al . Estudam a distorção "média":

σ = \frac{\sum d (x, y)}{\sum f (μ (x), μ (y))} .

$\sigma = \frac{\sum d(x,y)}{\sum f(\mu(x), \mu(y))}.$

No entanto, a medida em que estou interessado aqui é a usada pelos métodos do tipo MDS, que erro aditivo médio :

ε^{2} = \sum | d (x, y) - f (μ (x), μ (y)) |^{2}

$\varepsilon^2 = \sum | d(x,y) - f(\mu(x), \mu(y))|^2$

Embora os métodos semelhantes ao MDS sejam estudados extensivamente fora da comunidade da theoryCS, estou ciente de apenas um artigo ( de Dhamdhere et al ) que examina a otimização sob essa medida, e também para o problema limitado de incorporação na linha ( $Y = \mathbb{R}$ ) (observação: a tese de 2005 de Tasos Sidiropoulos tem uma boa revisão de trabalhos anteriores)

Existe algum trabalho mais recente que as pessoas estejam cientes sobre a análise rigorosa da qualidade sob essa noção de erro? Embora esses problemas geralmente sejam difíceis de lidar com NP, o que mais me interessa são aproximações de qualquer tipo.

approximation-algorithms cg.comp-geom embeddings

— Suresh Venkat
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3

Esta é uma boa pergunta. Não conheço algoritmos de aproximação, mas os resultados de dureza conhecidos para a aproximação da distorção mínima (e problemas relacionados, como a rotulagem métrica) também devem mostrar que é difícil aproximar . $\epsilon^2$

A razão é que eles fornecem uma redução de um problema NP-rígido, de modo que, no caso SIM, a distorção é e, no caso NÃO, a distorção é por pelo menos uma fração constante das arestas. Portanto, no caso SIM, será um fator menor que no caso NÃO. Para detalhes, veja, por exemplo, o artigo de Khot-Saket: www.cs.cmu.edu/~rsaket/pubs/approx.pdf $O(1)$ $\Omega(k)$ $\epsilon^2$ $k$

Não tenho muita certeza de qual fator de dureza segue o artigo deles, mas não deve ser difícil descobrir. (Eu acho que pelo menos o fator que você obtém para rotular métricas deve seguir.) $\log^c(n)$

— Moritz
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essa é uma boa sugestão. Definitivamente vou analisar o trabalho de rotulagem métrica. Sabe-se que mesmo a incorporação na linha é difícil para o MAX SNP, mas seria interessante (embora decepcionante) obter resultados mais fortes.

— Suresh Venkat

2

Posso estar faltando alguma coisa, mas por que ? Estamos interessados em aproximar-se de forma aditiva, portanto não podemos escalar para criar para todos os , certo? $\epsilon^2 \le (\rho-1)\sum d(x,y)^2$ $f(\mu(x), \mu(y)) \ge d(x,y)$ $x,y$

Uma vantagem aqui é que podemos fazer mal em comprimentos curtos e, em última análise, ficar bem. Além disso, o problema é fácil (para aproximar, até) se, digamos, queremos incorporar o ? (podemos escrever um programa matemático para capturar a pergunta?) $\ell_2$

— aditya
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Bom ponto. Eu mudei minha resposta.

— Moritz

isso depende da formulação. Se você colocar o problema como minimizador para um subespaço de destino de dimensão fixa, as restrições de classificação causam alguns problemas. Se você usar a formulação "estilo JL" (ou seja, corrigir o erro e encontrar a dimensionalidade correta), algo poderá ser possível.

ϵ

$\epsilon$

— Suresh Venkat

Uma quantidade que pode ser útil para "competir" é . Considere o problema de incorporar em (sugeri anteriormente, mas ele possui o sqrt confuso). Devemos visar claramente a obtenção de incorporações que tenham sendo (em um sentido vago, isso significa que estamos fora multiplicativamente para a maioria de . Podemos obter essa incorporação para, digamos (grau const) expansores (ou provar que não é possível?)?

S := \sum d (x, y)^{2}

$S:= \sum d(x,y)^2$

ℓ_{1}

$\ell_1$

ℓ_{2}

$\ell_2$

ϵ^{2}

$\epsilon^2$

o (S)

$o(S)$

(1 + o (1))

$(1+o(1))$

x, y

$x,y$

— aditya