conjunto de batidas mínimas de todas as bases de um matróide

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Nos é dado um matróide. Nosso objetivo é encontrar um conjunto de elementos de tamanho mínimo que possua uma interseção não vazia com todas as bases do matróide. O problema já foi estudado? Está em P? Por exemplo, em um matróide de spanning tree, o conjunto de batidas mínimo deve ser um corte mínimo. Obrigado.

co.combinatorics approximation-algorithms optimization

— jian
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Você olhou no livro de Schrijver sobre otimização combinatória?

— Chandra Chekuri

Verifiquei o livro de Schrijver, mas não encontrei nada diretamente relacionado. Pode ser um corolário simples de algum resultado no livro. No entanto, eu não o encontrei :-(

— jian Jan

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Eu pretendia deixar isso como um comentário, mas ainda não tenho reputação de fazê-lo. Esta questão foi cruzada no Mathoverflow, onde mencionei que o problema é NP-completo.

Veja aqui .

$U_{k,n}$ $k$ $n$ $(1/k, 1/k, \dots, 1/k)$ $c$ $n/k$ $U_{k,n}$ $n-k+1$

— Tony Huynh
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Obrigado, foi meu erro pensar que o primal é integral devido à integralidade dupla total, mas eu misturei os sinais ao que parece.

— Chandra Chekuri

Não se preocupe; Isso acontece com todos nós. =)

— Tony Huynh

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Atualização : o argumento está incorreto, conforme indicado. O erro está na última linha em que pensei que se obtém total dualidade total, mas o primal está cobrindo LP e não funciona.

$x(e)$ $e$ $\min \sum_e c(e) x(e)$ $\sum_{e \in B} x(e) \ge 1$ $B$ $x(e) \ge 0$ $e$ $c$ $c$ é integral, o dual é integral. Isso implica que o primal é integral.

— Chandra Chekuri
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Obrigado, Chandra. O dual é de fato um relaxamento do problema de empacotamento básico, que também aparece em P. Mas o LP não é integral, como Tony disse.

— jian

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Contanto que você possa, no tempo polinomial em número de elementos, verifique se um conjunto H de elementos é um conjunto de batidas e, se não for, encontre uma base que não seja atingida, o problema cai no domínio dos problemas do Conjunto de Batidas Implícitas . Veja o documento a seguir para algoritmos e discussões.

— Danu
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