São possíveis formas recursivas da declaração de Godel?

A auto-referencialidade do problema de P / NP às vezes tem sido destacada como uma barreira para sua resolução; veja, por exemplo, o artigo de Scott Aaronson, P vs. NP é formalmente independente ? Uma das muitas resoluções concebíveis para P / NP seria uma demonstração de que o problema é formalmente independente do ZFC ou é verdadeiro, mas não pode ser provado.

É concebível que a auto-referencialidade do problema possa representar um desafio mais profundo nas provas de independência, por exemplo, se as declarações sobre sua provabilidade são elas próprias improváveis ​​ou impossíveis de raciocinar.

Suponha que chamamos um teorema de T Godel_0, se for verdadeiro, mas impossível de provar no sentido do teorema de Godel. Ligue para T Godel_1 se a afirmação "T for Godel_0" for verdadeira, mas impossível de provar. Ligue para T Godel_i se a afirmação "T for Godel _ {(i-1)} for verdadeira.

Sabemos que existem instruções Godel_0, e alguns exemplos foram encontrados "em estado selvagem" que não são construídos explicitamente para esse fim, como neste artigo .

Minha pergunta é: existe alguma declaração Godel_1 ou superior? Tais afirmações são uma conseqüência natural do teorema de Godel?

Que tal uma afirmação sobre a qual não podemos provar absolutamente nada: ie, uma para a qual para cada k > 0, T é Godel_k?

Posso fazer uma pergunta análoga à independência formal, embora suspeite que a resposta seja "não" lá.

Voltando à questão P vs. NP, deixe-me perguntar se há alguma sugestão de que o teorema de Godel seja relevante para questões de separabilidade de classe. Alguma afirmação verdadeira, mas não comprovada, foi identificada com relação às classes de complexidade - além, é claro, da conexão óbvia entre o problema da parada e o teorema de Godel?

Como outros já apontaram, existem algumas dificuldades técnicas na declaração da sua pergunta. Para corrigi-los, vamos começar evitando o uso do termo "improvável" sem qualificação e ser explícito sobre qual conjunto de axiomas sua declaração T deve ser improvável. Por exemplo, suponhamos que estamos interessados ​​em afirmações T que não são prováveis ​​do PA, os axiomas da aritmética Peano de primeira ordem.

O primeiro aborrecimento é que "T é verdadeiro" não é expressável na linguagem aritmética de primeira ordem, pelo teorema de Tarski. Poderíamos contornar isso trabalhando em uma metateoria que seja poderosa o suficiente para definir a verdade de uma afirmação aritmética, mas acho que, para seus propósitos, esse é um caminho desnecessariamente complicado a ser seguido. Eu acho que você não está tão interessado na verdade em si, mas na provabilidade. Ou seja, eu suspeito que você ficaria satisfeito em definir T como Godel_0 se T é verdadeiro, mas não comprovável no PA, e definir T como Godel_1 se T é improvável no PA, mas "T é improvável no PA" é improvável no PA, e definir T como Godel_2 se T é improvável no PA e "T é improvável no PA" é improvável no PA, mas "'T é improvável no PA' é improvável no PA" é improvável no PA, etc.

Isso é suficiente para tornar sua pergunta precisa, mas infelizmente existe uma solução bastante trivial. Tome T = "PA é consistente." Então T é verdadeiro porque a AF é consistente e T é improvável na AF pelo 2º teorema da incompletude de Goedel. Além disso, "T é improvável no PA" também é improvável no PA por uma razão um tanto tola: qualquer declaração da forma "X é improvável no PA" é improvável no PA porque "X é improvável no PA" trivialmente implica que "o PA é consistente "(já que sistemas inconsistentes provam tudo ). Então T é Godel_n para todos os n, mas eu realmente não entendo a sua pergunta.

Poderíamos tentar "consertar" sua pergunta para evitar tais trivialidades, mas, em vez disso, deixe-me tentar abordar o que acho que é a sua pergunta pretendida. Tacitamente, acredito que você está confundindo a força lógica necessária para provar um teorema com a dificuldade psicológicade provar isso. Ou seja, você interpreta um resultado da forma "T é improvável em X" como dizendo que T está de alguma forma além da nossa capacidade de entender. Existem essas conjecturas monstruosas por aí, e nós, seres insignificantes, quebramos chicotes PA ou chicotes ZFC ou o que você tem nessas bestas ferozes, tentando domar. Mas não acho que "T seja impossível de provar em X" deve ser interpretado como significando "É impossível pensar em T". Pelo contrário, é apenas medir uma propriedade técnica específica sobre T, ou seja, sua força lógica. Então, se você está tentando inventar o über-monstro, não acho que encontrar algo que não seja apenas improvável, mas cuja improvabilidade seja improvável, etc., seja a direção certa a seguir.

Finalmente, com relação à sua pergunta sobre se a improvabilidade parece relacionada à separabilidade de classes de complexidade, existem algumas conexões entre intratabilidade computacional e improvabilidade em certos sistemas de aritmética limitada. Parte disso é mencionada no artigo de Aaronson que você cita; veja também o livro de Cook e Nguyen, Logical Foundations of Proof Complexity .

Não tenho tanta certeza da definição de Godel_1. Você pode tentar formalizar um pouco mais?

Como você pode codificar a fórmula "T é Godel_0"? Para isso, você precisará codificar de alguma forma que "T é semanticamente verdadeiro" sem se referir à noção de prova. Como você pode fazer isso?

Existem instruções Godel_n para cada n. Talvez você esteja interessado em A impossibilidade de consistência, um livro de George Boolos. Ele define uma lógica modal na qual Box significa "é comprovável", Diamond significa "é consistente" e, em seguida, passa a investigar o comportamento das sentenças do tipo Godel. (Ele também escreveu um livro de acompanhamento, The Logic of Provability.)