Plano projetivo de pedido 12

Objetivo : resolver a conjectura de que não há plano projetivo de ordem 12.

Em 1989, usando a pesquisa por computador em um Cray, Lam provou que não existe um plano projetivo da ordem 10. Agora que o número de Deus para o cubo de Rubik foi determinado após apenas algumas semanas de pesquisa maciça de força bruta (além de matemática inteligente de simetria), parece-me que esse problema aberto de longa data possa estar ao nosso alcance. (Além disso, talvez possamos usar essas técnicas para resolver algo matematicamente fundamental.) Espero que essa pergunta possa servir como uma verificação de sanidade.

O Cubo foi resolvido reduzindo o tamanho total do problema para "apenas" 2.217.093.120 testes distintos, que poderiam ser executados em paralelo.

Questões:

Houve vários casos especiais de inexistência mostrados. Alguém sabe, se os removermos e procurarmos exaustivamente o restante, se o tamanho do problema estiver na ordem da pesquisa do Cubo? (Talvez muito a esperar que alguém saiba disso ....)
Alguma informação parcial nesse sentido?

Editado para adicionar: fiz esta pergunta no MathOverflow aqui . Até agora, parece que nenhuma redução no espaço de pesquisa é alcançada a partir dos resultados parciais conhecidos. Ainda não sei o tamanho do espaço total de pesquisa.

open-problem

— Aaron Sterling
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você conhece boas referências para os casos especiais de inexistência que você mencionou? Ou talvez, apenas uma referência geral / conjunto de referências para o caso da ordem 12?

— Daniel Apon

Parece mais adequado para o MathOverflow. Existe uma forte conexão com a ciência da computação teórica? (Por outro lado: Como é que é difícil decidir, dado um inteiro n, se um plano projetivo de ordem n existe tempo polinomial NP-hard pior????)

— Jeffε

@ Jeff, obrigado, eu queria saber se eu deveria perguntar lá em vez disso. Eu acho que poderia ser uma aplicação do TCS à combinatória, mas não estou vendo isso como um resultado "importante", apenas um fruto muito difícil que agora pode ser pouco devido às velocidades do processador e à nuvem. Não sei a resposta para o seu problema de decisão. Então ... vou esperar alguns dias e depois postar no MO, ligando aqui.

— Aaron Sterling

Eu gosto da reformulação de Jeff. Talvez que vale a pena postagem como uma outra questão :)

— Suresh Venkat

Vejo a aplicação potencial da ciência da computação à combinatória, não apenas a ciência da computação teórica , que é (de acordo com meus próprios vieses) sobre o comportamento limitante da computação à medida que o tamanho da entrada aumenta para o infinito. Encontrar o número de Deus foi uma conquista técnica impressionante, mas não está claro se era necessária alguma percepção algorítmica ou que teria algum impacto algorítmico. (Eu adoraria ser corrigido quanto a este ponto.)

— Jeffε

Respostas:

(Mais um comentário do que resposta :)

Existem planos projetivos finitos para valores de n que são potências de um primo, e há infinitos valores de n que são descartados por um teorema de RH Bruck e H. Ryser, que foi generalizado por Chowla para bloquear projetos.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bruck%E2%80%93Chowla%E2%80%93Ryser_theorem

n = 10, como foi afirmado, foi resolvido (não existe plano) por uma pesquisa por computador, de modo que o primeiro valor de n não descartado por Bruck-Ryser é n = 12. No entanto, o trabalho com computadores não pareceu dar novas idéias, pois se existem ou não apenas os aviões de força principal. O que parece ser necessário são novos métodos matemáticos para entender as conjecturas comumente feitas de que apenas os planos de potência principal existem.

— Joseph Malkevitch
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Existe uma conjectura dizendo que, se sigma (n)> 2n, não existe um plano projetivo finito (FPP) de ordem n, nem um conjunto completo de quadrados latinos mutuamente ortogonais (CMOLS) que correspondem a ele. Onde sigma (n) denota a soma dos divisores positivos de n, incluindo o próprio n. De fato, quando sigma (n)> 2n significa que n é um número abundante. e 12 é o menor número abundante existente. A seguir, são apresentados todos os números abundantes para 1> n> 500: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 176, 180, 186, 190, 196, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364,

de On Projective Planes of Order 12, de Muatazz Abdolhadi Bashir e Andrew Rajah

— Bashir
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