Existência de "matrizes de coloração"

Editar: agora existe uma pergunta de acompanhamento relacionada a esta postagem.

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Definições

Seja $c$ e $k$ números inteiros. Usamos a notação $[i] = \{1,2,...,i\}$ .

Um $c \times c$ matriz $M = (m_{i,j})$ é dito ser um $c$ Para- $k$ coloração matriz se mantém o seguinte:

• temos $m_{i,j} \in [k]$ para todos $i, j \in [c]$ ,
• para todos os $i,j,\ell \in [c]$ com $i \ne j$ e $j \ne \ell$ temos $m_{i,j} \ne m_{j,\ell}$ .

Escrevemos $c \leadsto k$ se existe uma matriz de coloração $c$ to- $k$ .

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Observe que os elementos diagonais são irrelevantes; Estamos interessados apenas nos elementos não diagonais de $M$ .

A seguinte perspectiva alternativa pode ser útil. Deixe- $R(M,\ell) = \{ m_{\ell,i} : i \ne \ell \}$ ser o conjunto de elementos não diagonais em linha $\ell$ , e semelhante deixar $C(M,\ell) = \{ m_{i,\ell} : i \ne \ell \}$ seja o conjunto de elementos não diagonais na coluna $\ell$ . Agora $M$ é um $c$ Para- $k$ coloração matriz sse

$$R(M,\ell) \subseteq [k], \quad C(M,\ell) \subseteq [k], \quad R(M,\ell) \cap C(M,\ell) = \emptyset$$ para todos$\ell \in [c]$ . Ou seja, a linha$\ell$ e a coluna$\ell$ devem consistir em elementos distintos (exceto, é claro, na diagonal).

Pode ou não ser útil tentar interpretar como um tipo especial de função hash de [ c ] 2 a [ k ] .$M$$[c]^2$$[k]$

Exemplos

Aqui está uma matriz de coloração a- 4 : [ - 2 2 1 1 1 3 - 3 1 1 1 4 4 - 1 1 1 3 2 2 - 3 2 4 2 2 4 - 2 3 4 3 4 3 - ]$6$$4$

$$\begin{bmatrix} -&2&2&1&1&1\\ 3&-&3&1&1&1\\ 4&4&-&1&1&1\\ 3&2&2&-&3&2\\ 4&2&2&4&-&2\\ 3&4&3&4&3&- \end{bmatrix}.$$

Em geral, sabe-se que para qualquer temos ( 2 $n \ge 2$Por exemplo,20⇝6e6⇝4. Para ver isso, podemos usar a seguinte construção (por exemplo, Naor & Stockmeyer 1995).

$${2n \choose n} \leadsto 2n.$$ $20 \leadsto 6$$6 \leadsto 4$

Seja e sejak=2n. Sejafuma bijeção de[c]para o conjunto de todos osn-conjuntos de[2n], ou seja,f(i)⊆[2n]e| f(i)| =npara todosi. Para cadai,j∈[c]comi≠$c = {2n \choose n}$$k = 2n$$f$$[c]$$n$$[2n]$$f(i) \subseteq [2n]$$|f(i)| = n$$i$$i,j \in [c]$$i \ne j$, escolha arbitrariamente

$$m_{i,j} \in f(i) \setminus f(j).$$

Observe que . É fácil verificar se a construção é realmente uma matriz de coloração; em particular, temos R ( M , ℓ ) = f ( ℓ ) e C ( M , ℓ ) = [ k ] ∖ f ( ℓ ) .$f(j) \setminus f(i) \ne \emptyset$$R(M,\ell) = f(\ell)$$C(M,\ell) = [k] \setminus f(\ell)$

Questão

A construção acima é ideal? Em outras palavras, temos para qualquern≥2?

$${2n \choose n} + 1 \leadsto 2n$$ $n \ge 2$

É sabido que a construção acima é assintoticamente estanque; necessariamente . Isto se segue, por exemplo, do resultado de Linial (1992) ou de uma aplicação direta da teoria de Ramsey. Mas, para mim, não está claro se a construção também é rígida para constantes. Algumas experiências numéricas sugerem que a construção acima pode ser ótima.$k = \Omega(\log c)$

Motivação

A questão está relacionada à existência de algoritmos distribuídos rapidamente para colorir gráficos. Por exemplo, suponha que recebamos uma árvore direcionada (todas as arestas orientadas para um nó raiz) e suponha que recebamos uma cor adequada da árvore. Agora, existe um algoritmo distribuído que calcula uma coloração k adequada da árvore em 1 rodada de comunicação síncrona se e somente se c ⇝ k .$c$$k$$1$$c \leadsto k$

A construção é ótima no sentido de que $\binom{2n}{n}+1 \leadsto n$ M$\binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$$c \leadsto k \iff c \le \binom{k}{\lfloor k/2\rfloor}$

Para um assintótico um pouco mais apertado, pode-se provar que:

$c \leadsto k$$c \leq 2^k$

$c \times c$$k$$[k]$$i \lt j$$i$$j$$(i,j)$$j$$j$$c \leq 2^k$