Linguagens unárias reconhecidas por contra-autômatos determinísticos bidirecionais

Os 2dca (autômatos determinísticos bidirecionais de um contador) (Petersen, 1994) podem reconhecer a seguinte linguagem unária:

Existe alguma outra linguagem unária não trivial reconhecida pelos 2dca's?

Observe que ainda não se sabe se 2dca pode reconhecer $\mathtt{SQUARE} = \lbrace 0^{n^2} \mid n \geq 0 \rbrace$ ?

DEFINIÇÃO: Um 2dca é um autômato finito determinístico de duas vias com um contador. Um 2dca pode testar se o valor do contador é zero ou não e aumentar ou diminuir o valor do contador em 1 em cada etapa.

Essa é apenas uma idéia que me veio à mente ao ler Marvin L. Minsky, "Insolubilidade recursiva do problema de etiqueta de Post e outros tópicos da teoria das máquinas de Turing"; em particular o famoso teorema Ia:

Teorema Ia: Podemos representar qualquer função recursiva parcial por um programa operando em dois inteiros S 1 e S 2 usando as instruções I j dos formulários: (i) ADD 1 a S j e vá para I j 1 ( ii) SUBTRATO 1 de S j , se S j ≠ 0 e for para I j 1 , caso contrário, vá para I j 2 Ou seja, podemos construir um programa que comece com S $f(n)$$S_1$$S_2$$I_j$
$S_j$$I_{j_1}$
$S_j$$S_j \neq 0$$I_{j_1}$$I_{j_2}$
e S 2 = 0 e, eventualmente, para com S 1 = 2 f ( n ) e S 2 = $S_1 = 2^n$$S_2 = 0$$S_1 = 2^{f(n)}$$S_2 = 0$

Se você tiver um DFA bidirecional com um contador em uma fita (semi) infinita, em que a entrada é dada em unário: o DFA pode:$\$1^{2^n}000...$

1. leia a entrada unária (e guarde-a no balcão);
2. trabalho no parte da fita e usar a distância do 1 s como o segundo balcão.$0^\infty$$1$

para simular uma máquina completa de dois contadores da Turing.

Agora, se você tiver uma função recursiva que é executada no tempo T ( n ) em uma máquina de Turing padrão, um DFA bidirecional com um contador que inicia na fita finita $ 1 m$f(n)$$T(n)$ $\$1^m\$ \;$(onde e T ′ ( n ) ≫ T ( n ) ) pode:$m = 2^n3^{T'(n)}$$T'(n) \gg T(n)$

1. leia a entrada unária (e guarde-a no balcão);
2. retornar ao símbolo mais à esquerda;
3. divida o contador por 3 até que o contador contenha desta maneira: vá para a direita a partir dos estados q z 0 , q z 1 , q z 2 e subtraia 1; se o contador atingir 0 no estado q z 0, vá para o símbolo mais à esquerda adicionando +1 e continue o loop de divisão; caso contrário, adicione 1 (se estiver no estado q z 1 ) ou 2 (se estiver no estado q z 2 ) e vá para o símbolo mais à esquerda adicionando + 3 (ou seja, recuperar o valor anterior do contador não divisível por 3) e prossiga com a etapa 4 .;$2^n$$q_{z_0}, q_{z_1}, q_{z_2}$$q_{z_0}$$q_{z_1}$$q_{z_2}$
4. neste ponto, o contador contém ;$2^n$
5. calcule usando o espaço T ′ ( n ) disponível à direita como segundo contador (o valor do segundo contador é a distância do símbolo mais à esquerda $ ).$2^{f(n)}$$T'(n)$$\$$

Portanto, com a codificação de entrada especial descrita acima, que oferece espaço suficiente na fita finita, um DFA bidirecional com um contador e alfabeto unário pode calcular todas as funções recursivas.

Se a abordagem é correcta, seria interessante para raciocinar sobre como escolher ou quando é suficiente para escolher um grande ângulo diferente k » 2 e codificar a entrada como uma m , m = 2 n k $T'(n) \gg T(n)$$k \gg 2$$1^m$$m = 2^n k^n$

Por não trivial, suponho que você queira dizer um idioma L que não pode ser aceito por um 1dca. Aqui parece haver uma linguagem assim:

CENTRO = {w | w está acima de {0,1} * e w = x1y para alguns x, y tais que | x | = | y |}

Este idioma não pode ser aceito por 1dca, mas PODE ser aceito por 1nca. Pode ser aceito por um 2dca. Os detalhes são deixados como exercício.