Coeficientes de Fourier linearmente independentes


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Uma propriedade básica de espaço vectorial é que um espaço vectorial VF2n de dimensão pode ser caracterizado por restrições lineares linearmente independentes - isto é, existem vectores linearmente independentesndddw1,,wdF2n que são ortogonais para .V

De uma perspectiva de Fourier, isso equivale a dizer que a função indicadora de possui coeficientes de Fourier linearmente independentes, diferentes de zero. Observe que possui coeficientes de Fourier diferentes de zero no total, mas apenas deles são linearmente independentes.1VVd 1V2dd

Estou procurando uma versão aproximada dessa propriedade de espaços vetoriais. Especificamente, estou procurando uma declaração do seguinte formulário:

Seja do tamanho . Então, a função indicadora tem no máximo coeficientes de Fourier linearmente independentes , cujo valor absoluto é pelo menosSF2n2nd1Sdlog(1/ε) ε .

Essa questão pode ser vista da perspectiva "Estrutura versus aleatoriedade" - intuitivamente, essa afirmação diz que todo conjunto grande pode ser decomposto em uma soma de um espaço vetorial e em um pequeno conjunto tendencioso. É sabido que toda função pode ser decomposta em uma "parte linear" da qual tem Fourier grande coeficientes e uma "parte pseudo-aleatória" com pequeno viés. Minha pergunta pergunta se a parte linear tem apenas um número logarítmico de coeficientes de Fourier linearmente independentes .f:F2nF2poly(1/ε)


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Oi Ou você poderia dar uma referência à sua última afirmação de que cada função pode ser decomposta em uma parte linear + parte pseudo-aleatória? Obrigado!
Henry Yuen

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Não tenho certeza de onde ele apareceu pela primeira vez. É um corolário direto da desigualdade de Parseval: a partir de Parseval, você obtém que todas as funções booleanas têm no máximo caracteres cujos coeficientes de Fourier têm valor absoluto pelo menos ε . Agora, considere a parte "linear" como a soma dos últimos caracteres (com os mesmos coeficientes) e a "parte pseudo-aleatória" como a soma de todos os outros caracteres (com os mesmos coeficientes). 1/ε2ε
Ou Meir

Respostas:


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O exemplo a seguir não é um contra-exemplo?

Seja a maioria de x 1 , , x 1 / ϵ 2 , que é um indicador de um conjunto de tamanho 2 n / 2 , então d = 1 . No entanto, f ( { i } ) = Θ ( ε ) para 1 i 1 / ε 2 , então você tem 1 / ε 2f(x)x1,,x1/ϵ22n/2d=1f^({i})=Θ(ϵ)1i1/ϵ21/ϵ2 coeficientes de Fourier grandes linearmente independentes.


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Talvez você queira o que às vezes é chamado "Lema de Chang" ou "Lema de Talagrand" ... chamado de "Desigualdade de Nível 1" aqui: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

Isso implica que se tiver média 2 - d, então o número de coeficientes de Fourier linearmente independentes cujo quadrado é pelo menos γ 2 - d é no máximo O ( d / γ 2 ) . (Isto acontece porque um F 2 transformação -linear na entrada não altera a média, para que possa sempre mover caracteres de Fourier linearmente independentes de grau-1).1S2dγ2dO(d/γ2)F2


Muito obrigado! É definitivamente próximo do que eu procurava, mas para o aplicativo que eu tinha em mente, era crucial ter dependência logarítmica em (que em sua notação também implicaria dependência logarítmica em γ ). Infelizmente, o exemplo de Per mostra que isso não é possível. ϵγ
Ou Meir
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