Parametricidade e eliminações projetivas para registros dependentes

É sabido que no Sistema F, você pode codificar produtos binários com o tipo Pode, em seguida, definir projecção funções e .

UMA \times B ≜ \forall α . (UMA \to B \to α) \to α

$A \times B \triangleq \forall\alpha.\; (A \to B \to \alpha) \to \alpha$

π_{1} : A \times B \to A

$\pi_1 : A \times B \to A$

π_{2} : A \times B \to B

$\pi_2 : A \times B \to B$

Isso não é tão surpreendente, embora a leitura natural do tipo F seja de um par com uma eliminação no estilo let $\mathsf{let}\;(x,y) = p \;\mathsf{in}\; e$ , porque os dois tipos de pares são interderiváveis na lógica intuicionista.

Agora, em uma teoria de tipos dependentes com quantificação impredicativa, você pode seguir o mesmo padrão para codificar um tipo de registro dependente $\Sigma x:A.\; B[x]$ como

Σ x : UMA . B [x] ≜ \forall α . (Π x : UMA . B [x] \to α) \to α

$\Sigma x:A.\;B[x] \triangleq \forall\alpha.\; (\Pi x:A.\; B[x] \to \alpha) \to \alpha$ Mas neste caso, não existe uma maneira simples de definir os eliminadores projetivos

π_{1} : Σ x : A . B [x] \to A

$\pi_1 : \Sigma x:A.\;B[x] \to A$ e

π_{2} : Π p : (Σ x : A . B [x]) . B [π_{1} p]

$\pi_2 : \Pi p:(\Sigma x:A.\;B[x]).\; B[\pi_1\,p]$ .

No entanto, se a teoria dos tipos for paramétrica, você poderá usar a parametridade para mostrar que $\pi_2$ é definível. Isso parece ser conhecido - veja, por exemplo, este desenvolvimento da Agda por Dan Doel, no qual ele deriva sem comentários -, mas não consigo encontrar uma referência para esse fato.

Alguém conhece uma referência pelo fato de a parametridade permitir definir eliminações projetivas para tipos dependentes?

Edição: A coisa mais próxima que eu encontrei até agora é este artigo de Herman Geuvers, de 2001. A indução não é derivável na teoria do tipo dependente de segunda ordem , na qual ele prova que você não pode fazê-lo sem parametridade.

— Neel Krishnaswami
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Não posso dizer neste post qual é a questão. (Eu não sei nada da área e não saberia de qualquer maneira, mas eu gostaria de ser capaz de articular a questão)

— Vijay D

Eu adicionei uma linha de perguntas explícita acima da edição. Isso ajuda?

— Neel Krishnaswami

Sim. Inicialmente, eu não tinha certeza se era apenas um pedido de referência ou um pedido de prova. Eu vou perguntar por aí.

— Vijay D

Eu tive uma discussão há alguns meses aqui: queuea9.wordpress.com/2012/03/28/why-not-lambda-encode-data e acredito que o princípio da parametridade-> eliminação é folclore / trabalho original de Dan. Essas discussões estão próximas de outras relacionadas à parametridade por J.‑P. Bernardi. Você pode dar uma olhada nos desenvolvimentos da biblioteca padrão da Coq em torno de somas dependentes: coq.inria.fr/stdlib/Coq.Init.Specif.html e talvez coq.inria.fr/stdlib/Coq.Logic.EqdepFacts.html#

— Cody

@kvb: Acho que ainda não há uma resposta positiva. No meu rascunho recente (com Derek Dreyer) sobre a parametridade no Cálculo de Construções ( mpi-sws.org/~neelk/internalizing-parametricity.pdf ), mostramos que a parametridade faz parecer interessante para adicionar axiomas que permitem obter fortes eliminações. da codificação da Igreja. No entanto, ainda não temos uma boa história de como internalizar a parametridade de uma maneira que calcule bem (provavelmente precisamos integrar os métodos de JP Bernardy em nossa teoria de tipos). Isso não parece impossível, mas ainda não sabemos como.

— Neel Krishnaswami

Acabei de falar com Dan Doel e ele explicou que sua referência era de fato um Neel Krishnaswami. Ele viu um comentário seu no n-cafe de que alguém podia fazer uma forte indução usando a parametridade, então ele seguiu em frente e fez isso como um exercício, sem perceber que fazer isso por sigma era aparentemente um resultado novo.

A citação precisa: "Minha referência era ele. Pensei que ele dissesse que era possível, então eu fiz".

— sclv
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