Gerando um ponto em um polítopo racional

Considere um politopo racional que é definido por meio de um oráculo de separação. Ou seja, pode ser descrito implicitamente como , mas como é muito grande, usamos um oracle, que dado um ponto , quer diz ou retorna uma meia-espaço de tal modo que .P P = { x ∈ R k : A x ≤ b , A ∈ Z m × k , b ∈ Z m } m x ∈ R k x ∈ P x ∉ $P$$P$$P = \{x \in R^k: Ax \leq b, A \in Z^{m \times k}, b \in Z^m \}$$m$$x \in R^k$$x \in P$$x \notin S$

Meu objetivo é encontrar um ponto em ou determinar se está vazio. Eu estou apontando para um tempo de execução polinomial no tamanho representação de e , onde é o maior valor absoluto em . Ou seja, o algoritmo deve fazer apenas polinômios muitas chamadas para o oráculo de separação.P U k U $P$$P$$U$$k$$U$$A$

Em geral, pode estar contido em um hiperplano de menor dimensão e, portanto, é problemático usar o método elipsóide. Assim, como no truque da Khachiyan, eu alter (e o oráculo separação) para usar , onde é algo como . Intuitivamente, os meios espaços que definem são os mesmos que definem apenas que são traduzidos por . O politopo tem as seguintes propriedades: está vazio se estiver vazio e se não estiver vazio,P P ε ε 1 / L P ε P ε P ε P ε P P P $P$$P$$P^\epsilon$$\epsilon$$1/U$$P^\epsilon$$P$$\epsilon$$P^\epsilon$$P^\epsilon$$P$$P$$P^\epsilon$ é totalmente dimensional.

Minha pergunta é a seguinte: Suponha que o algoritmo encontre um ponto . É possível gerar um ponto em usando ? P $p \in P^\epsilon$$P$$p$

A partir de qualquer escolha de um poliepítopo em R k , ε , e um ponto Q em R k é possível encontrar um poliepítopo P em R k + 1 , em conjunto com uma incorporação de R k em R k + 1 , tal que P está dentro ε distância Hausdorff de (a imagem incorporada de) P e de tal modo que (a imagem incorporada de) q pertence a P$P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$$q$${\mathbb R}^k$$\hat P$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$${\mathbb R}^{k+1}$$\hat P$$\epsilon$$P$$q$$\hat P^\epsilon$. Para isso, basta fazer as facetas de P ser quase paralela à imagem incorporada de R k , de modo que traduzi-las por ε em R k + 1 faz com que a sua intersecção com R k a afastar- P por uma maior distância muito .$\hat P$${\mathbb R}^k$$\epsilon$${\mathbb R}^{k+1}$${\mathbb R}^k$$\hat P$

Como foi arbitrário, o conhecimento de q não serve para encontrar um ponto em ou próximo de P ; tudo o que você poderia fazer com ele, você poderia fazer sem ele. Mas, por causa P e P são tão próximos, encontrar um ponto próximo P é equivalente a encontrar um ponto próximo P . Portanto, o conhecimento de q (um ponto em P ε ) é de nenhum uso em encontrar um ponto próximo P .$q$$q$$P$$\hat P$$P$$P$$\hat P$$q$$\hat P^\epsilon$$\hat P$

Se seu objetivo é encontrar um ponto em ou determinar que P está vazio, por que você não faz o seguinte.$P$$P$

Seja um conjunto de semi-espaços, inicialmente vazios.$H$

Seja um ponto, inicialmente igual a 0 k .$x$$0^k$

1. Dê ao oráculo.$x$

2. Se o oráculo disse , você já fez.$x \in P$

3. Caso contrário, seja o meio espaço violado retornado pelo oráculo. Vamos y ser a projecção ortogonal de x em S . $S$$y$$x$$S$

   • Se existe pelo menos um tal que y ∉ T , então você fez: P está vazio.$T \in H$$y \not \in T$$P$
   • Caso contrário, defina e defina x : = y . $H := H \cup \{S\}$$x := y$

4. Volte para 1.