Capacidade do quebra-cabeça exclusivamente solucionável (USP)

Em seu trabalho seminal, algoritmos teóricos de grupo para multiplicações de matrizes , Cohn, Kleinberg, Szegedy e Umans introduzem o conceito de quebra-cabeça exclusivamente solucionável (definido abaixo) e a capacidade da USP. Eles afirmam que Coppersmith e Winograd, em seu próprio papel inovador A multiplicação de matrizes através de progressões aritméticas , "implicitamente" provar que a capacidade USP é $3/2^{2/3}$ . Essa afirmação é reiterada em vários outros lugares (inclusive aqui na história), mas em nenhum lugar há uma explicação para ser encontrada. Abaixo está meu próprio entendimento sobre o que Coppersmith e Winograd provam, e por que não é suficiente.

É verdade que a capacidade USP é $3/2^{2/3}$ ? Em caso afirmativo, existe uma referência para a prova?

Quebra-cabeças exclusivamente solucionáveis

Um quebra-cabeça exclusivamente solucionável (USP) de comprimento $n$ e largura $k$ consiste em um subconjunto de $\{1,2,3\}^k$ de tamanho $n$ , que também consideramos como três coleções de $n$ "peças" (correspondentes aos locais onde vetores são $1$ , os locais onde são $2$ e os locais onde são $3$ ), satisfazendo a seguinte propriedade. Suponha que organizemos todas as peças $1$ em $n$ linhas. Então deve haver uma maneira única de colocar as outras peças, uma de cada tipo em cada linha, para que elas "se encaixem".

Seja $N(k)$ o comprimento máximo de um USP de largura $k$ . A capacidade da USP é

κ = sup_{k} N (k)^{1 / k} .

$\kappa = \sup_k N(k)^{1/k}.$ Em uma USP, cada uma das peças precisa ser única - isso significa que não há duas linhas que contêm o símbolo

c \in {1, 2, 3}

$c \in \{1,2,3\}$ exatamente nos mesmos lugares. Isto demonstra que (após um curto argumento) que

e por isso

N (k) \leq \sum_{a + b + c = k} min {(\binom{k}{a}), (\binom{k}{b}), (\binom{k}{c})} \leq (\binom{k + 2}{2}) (\binom{k}{k / 3}),

$N(k) \leq \sum_{a+b+c=k} \min \left\{ \binom{k}{a}, \binom{k}{b}, \binom{k}{c} \right\} \leq \binom{k+2}{2} \binom{k}{k/3},$

κ \leq 3 / 2^{2 / 3}

$\kappa \leq 3/2^{2/3}$

Exemplo (um USP de comprimento e largura ): Não exemplo de comprimento e largura , em que as peças e podem ser dispostas de duas maneiras diferentes: $4$ $4$

\begin{aligned} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{aligned}

$\begin{align*} 1111 \\ 2131 \\ 1213 \\ 2233 \end{align*}$

3

$3$

3

$3$

2

$2$

3

$3$

\begin{aligned} 123 & 132 \\ 231 & 321 \\ 312 & 213 \end{aligned}

$\begin{align*} 123 && 132 \\ 231 && 321 \\ 312 && 213 \end{align*}$

Puzzles de Coppersmith-Winograd

Um quebra-cabeça de Coppersmith-Winograd (CWP) de comprimento e largura consiste em um subconjunto de de tamanho no qual as "peças" são únicas - para quaisquer dois e $n$ $k$ $S$ $\{1,2,3\}^k$ $n$ $a \neq b \in S$ , $c \in \{1,2,3\}$ (Eles apresentam um pouco diferente.)

{i \in [k] : a_{i} = c} \neq {i \in [k] : b_{i} = c} .

$\{ i \in [k] : a_i = c \} \neq \{ i \in [k] : b_i = c \}.$

Cada USP é um CWP (como comentamos acima), portanto, a capacidade CWP satisfaz . Acima comentamos que $\lambda$ $\lambda \geq \kappa$ . Fundidor e Winograd mostraram, utilizando um argumento sofisticado, que . Seu argumento foi simplificado por Strassen (veja ateoria da complexidade algébrica). Esboçamos uma prova simples abaixo. $\lambda \leq 3/2^{2/3}$ $\lambda = 3/2^{2/3}$

$k$ $V$ $k/3$ $1$ $2$ $3$ $c \in \{1,2,3\}$ $E_c$ $a,b \in V$ $\{ i \in [k] : a_i = c \} = \{ i \in [k] : b_i = c \}$ $E = E_1 \cup E_2 \cup E_3$ $G = (V,E)$ $|V|^2/4|E|$ $|V|/2|E|$

| V | = (\binom{k}{k / 3}) (\binom{2 k / 3}{k / 3}), | E | \leq 3 | E_{1} | = \frac{3}{2} (\binom{k}{k / 3}) {(\binom{2 k / 3}{k / 3})}^{2} .

$|V| = \binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}, \quad |E| \leq 3|E_1| = \frac{3}{2}\binom{k}{k/3} \binom{2k/3}{k/3}^2.$

\frac{| V |^{2}}{4 | E |} = \frac{1}{6} (\binom{k}{k / 3}) ⟹ λ \geq \frac{3}{2^{2 / 3}} .

$\frac{|V|^2}{4|E|} = \frac{1}{6} \binom{k}{k/3} \Longrightarrow \lambda \geq \frac{3}{2^{2/3}}.$

— Yuval Filmus
fonte

Interessante, mas há uma pergunta aqui, ou isso é apenas uma afirmação de uma falha na literatura?

— David Eppstein

3 / 2^{2 / 3}

$3/2^{2/3}$ , e em caso afirmativo, onde pode ser encontrada uma prova.

— Yuval Filmus

$S$

$S$ $2^V$ $\Pr[x \in S] = (|V|/2|E|)^{1-\epsilon}$ $x,y,z \in V$ $x$ $y$ $z$ $w \in V$ $x,y,z \in S$ $w \in S$

$S$ $V$ $(x,y) \in E$ $x,y$ $(|V|^2/2|E|)^{1-\epsilon}$ $T$ $x,y,z \in T$ $x$ $y$ $z$ $w$ $x,y,z,w \in S$ $x,y,z$ $S$

— Yuval Filmus
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