Isomorfismo do subgráfico com uma árvore

Se temos um gráfico grande (direcionado) $G$ e uma árvore com raízes menores , qual é a complexidade mais conhecida para encontrar subgráficos de isomórficos para ? Estou ciente dos resultados do isomorfismo da subárvore, onde e são árvores e também onde é planar ou limitou a largura de árvore (e outras), mas não para este gráfico e caso de árvore. $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $G$

ds.algorithms reference-request graph-theory

— Rafael
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Você quer dizer subgráfico induzido, em vez de subgráfico?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

@ Kristoffer, estou interessado em ambos. Perdi algo trivial no caso não induzido?

— Raphael

Seu problema é difícil para NP, mesmo que

seja um caminho, pois o problema mais longo (induzido ou não induzido) é difícil para NP.

H

$H$

— Yota Otachi

Sim. Estou interessado no que mais se sabe que é particular por

ser uma árvore. Por exemplo, dependendo das propriedades de

, tais como aqueles em questão ou assumindo

é fixo etc

H

$H$

G

$G$

H

$H$

— Raphael

O problema do caminho induzido é W [1] -completo (Papadimitriou-Yannakakis 1991), enquanto o problema do caminho (não induzido) é o FPT (Monien 1985). Veja também Chen-Flum 2007. Também quero conhecer a complexidade parametrizada para outras classes de árvores.

— Yota Otachi

Respostas:

A questão de saber se qualquer gráfico fixo é um subgrafo (induzido) de é uma propriedade definível de primeira ordem, ou seja, para todo existe uma fórmula ( ) tal que é um subgrafo (induzido) de se e apenas se ( ). $H$ $G$ $H$ $\varphi_H$ $\psi_H$ $H$ $G$ $G \models \varphi_H$ $G\models\psi_H$

Sabia-se anteriormente que o problema de verificação de modelo é tratável por parâmetros fixos em classes de gráficos que (localmente) excluem um menor e em classes de expansão limitada (localmente) . Recentemente, Grohe, Kreutzer e S. anunciaram um meta-teorema ainda mais geral, afirmando que toda propriedade de primeira ordem pode ser decidida em tempo quase linear em classes densas de gráficos em nenhum lugar.

Para sua pergunta, isso implica o seguinte. Seja uma árvore com raízes fixas. Em seguida, pode ser decidido em tempo linear se é um subgrafo (induzido) de um gráfico de entrada (direcionado ou não direcionado) se é plano, ou mais geralmente é de uma classe que exclui um menor ou de uma classe de expansão limitada. O problema pode ser resolvido em um tempo quase linear se for de uma classe que exclui localmente um menor ou de uma classe de expansão limitada localmente ou, geralmente, for de uma classe densa de lugar nenhum. $H$ $H$ $G$ $G$ $G$ $G$

— Sebastian Siebertz
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Ele pode ser resolvido no tempo esperado aleatório onde é o tamanho da pequena árvore direcionada a ser encontrada e é o número de arestas do grande gráfico direcionado no qual a encontrar. Ver Teorema 6.1 de Alon, N., Yuster, R. e Zwick, U. (1995). Código de cores. J. ACM 42 (4): 844-856 . Alon et al. também declara que seu algoritmo pode ser des randomizado, mas não fornece os detalhes dessa parte; Eu acho que o tempo determinístico pode ser um pouco maior, algo mais como $O(2^km)$ $k$ $m$ . $O(k!\,m)$

— David Eppstein
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A versão derandomized deve ser como habitual, por exemplo, como a maneira como eles descritas na secção 4, apenas utilizando a função hash perfeito para mapear

nodos para

cor, o que faz com que a adicional

fator. (também pode ser aprimorado para

fator

, significa totalmente é

n

$n$

k

$k$

\log^{2} n

$\log^2 n$

\log n

$\log n$

O (2^{k} \cdot m \cdot \log n)

$O(2^k \cdot m \cdot \log n)$

— Saeed

Você provavelmente está procurando o trabalho de Marx, Pilipczuk, sobre complexidade parametrizada do isomorfismo do subgráfico . Tecnicamente, ele abrange apenas gráficos não direcionados, mas acho que você pode adaptar facilmente os resultados de dureza das árvores às árvores enraizadas. Os resultados positivos relevantes para o seu problema já estão cobertos pelas respostas anteriores. $H$

— Radu Curticapean
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