Eventos de alta probabilidade sem coordenadas de baixa probabilidade

$X$$\Sigma^n$$\Sigma$$H(X) \ge (n- \delta)\cdot\log|\Sigma|$$\delta$$E \subseteq \rm{Supp}(X)$$X$$\Pr[X \in E] \ge 1 - \varepsilon$$\varepsilon$

Dizemos que um par é uma coordenada de baixa probabilidade de se . Dizemos que uma string contém uma coordenada de baixa probabilidade de se for uma coordenada de baixa probabilidade de para alguns .$(i,\sigma)$$E$$\Pr[X \in E | X_i = \sigma] \le \varepsilon$$x \in \Sigma^n$ $E$$(i, x_i)$$E$$i$

Em geral, algumas cordas em pode conter baixas coordenadas de probabilidade de . A questão é: podemos sempre encontrar um evento de alta probabilidade modo que nenhuma string em contenha uma coordenada de probabilidade baixa de (e não de ).$E$$E$$E' \subseteq E$$E'$$E'$$E$

Obrigado!

Aqui está um exemplo que complementa a resposta de Harry Yuen. Para um contra-exemplo, basta definir apropriado e mostrar que qualquer subconjunto grande deve ter uma coordenada de baixa probabilidade de - uma coordenada de baixa probabilidade de é necessariamente uma coordenada de baixa probabilidade -ordenado de .$X,E$$E'\subseteq E$$E$$E$$E'$

Além disso, ignorarei a condição sobre entropia - anexar variáveis ​​aleatórias uniformemente distribuídas e independentes a (e levar a ) aumentarápara quase sem afetar a existência de um (ainda não pensei nisso com cuidado).$N$$X$$E$$E\times \Sigma^N$$H(X)/(n+N)\log|\Sigma|$$1$$E'$

Aqui está o exemplo. Deixe ser um elemento aleatório de tal que cada vector com peso de Hamming (isto é, vectores do formulário ) têm probabilidade e o o vetor all-ones tem probabilidade . Seja o conjunto de vetores com peso de Hamming .$X$$\{0,1\}^n$$1$$0\dots 010\dots 0$$(1-\epsilon)/n$$1\dots 1$$\epsilon$$E$$1$

Considere um subconjunto . Se não estiver vazio, ele conterá um vetor do peso de Hamming , digamos sem perda de generalidade. Mas , que é menor que se for cerca de .$E'\subseteq E$$E'$$1$$100\dots 0$$\Pr[X \in E'|X_i=1]=\frac{(1-\epsilon)/n}{(1-\epsilon)/n + \epsilon}$$\epsilon$$n$$2/\epsilon^2$

Como compara a ? Se puder ser , acho que podemos realizar o que você deseja. Deixe . Note-se que é dado massa de probabilidade sob . Vamos denotar a massa de probabilidade atribuída a cordas em tal que o th coordenar tem símbolo .$\epsilon$$n$$\epsilon$$O(1/\sqrt{n})$$B = \mbox{Supp}(X) - E$$B$$\epsilon$$X$$\lambda(i,\sigma)\epsilon$$B$$i$$\sigma$

Suponha foram uma probabilidade baixa de coordenadas para algumas cordas em . Let denota a massa de probabilidade atribuída a essas strings. Então, por definição, , implicando que . Podemos descartar essas seqüências de baixa probabilidade enquanto apenas sofremos uma perda no prob. massa para .$(i,\sigma)$$E$$\delta(i,\sigma)$$\frac{\delta(i,\sigma)}{\delta(i,\sigma) + \lambda(i,\sigma)\epsilon} \leq \epsilon$$\delta(i,\sigma) \leq 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2$$\delta(i,\sigma)$$E$

Continue fazendo isso para todo o mal possível e, no final, apenas descartamos no máximo . Isso usa o fato de que, para todos os , .$(i,\sigma)$$\sum_{i,\sigma} \delta(i,\sigma) \leq \sum_{i} \sum_{\sigma} 2\lambda(i,\sigma)\epsilon^2 \leq 2\sum_{i} \epsilon^2 = 2n\epsilon^2$$i$$\sum_{\sigma} \lambda(i,\sigma) = 1$

Se você deseja que tenha massa de probabilidade , então precisa ser tal que ou é suficiente.$E'$$1 -\gamma$$\epsilon$$\epsilon + 2n\epsilon^2 \leq \gamma$$\epsilon = O(\gamma/\sqrt{2n})$

Não está claro para mim no momento se essa dependência de pode ser eliminada; Vou continuar pensando sobre isso.$n$