O seguinte problema é NP difícil?

Considere uma coleção de conjuntos em um conjunto de base que e , e deixá- k$F=\{F_1,F_2,\dotsc,F_n\}$$U=\{e_1,e_2,\dotsc,e_n\}$$|F_i|$ $\ll$ $n$$e_i \in F_i$$k$ ser um número inteiro positivo.

O objetivo é encontrar uma outra coleção de conjuntos $C=\{C_1,C_2,\dotsc,C_m\}$ mais de $U$ tal que cada $F_i$ pode ser escrita como uma união de, no máximo, $k$ $(k<<|C|)$ mutuamente disjuntos define em $C$ e também queremos $\sum_1^m |C_j|$ser mínimo (isto é, o número agregado de elementos em todos os conjuntos de$C$ deve ser o menor possível).

Observe que tem o mesmo tamanho de , mas o tamanho de é incerto.$F$$U$$C$

Alguém pode dizer se o problema acima é NP-difícil? (conjunto de cobertura？ embalagem covering cobertura perfeita）

Obrigado pelo seu tempo.

Lema. O problema é NP-difícil.

Esboço de prova. Nós desconsideramos as restrições | F i | « N = | U | no problema publicado, porque, para qualquer instância ( F , U , k ) do problema, a instância ( F ′ = F n , U ′ = U n , k ) obtida através da união de n cópias independentes de ( F , U , k ) (onde $|F_i| \ll n = |U|$$(F,U,k)$$(F'=F^n,U'=U^n,k)$$n$$(F,U,k)$$i$a cópia de F usa a i- cópia de U como seu conjunto base) é equivalente e satisfaz a restrição (possui | F ′ i | ≤ n ≪ n 2 = | U ′ | ).$F$$i$$U$$|F'_i| \le n \ll n^2 = |U'|$

Damos uma redução de 3-SAT. Para apresentação, no primeiro estágio da redução, desconsideramos as restrições e i ∈ F i no problema publicado. No segundo estágio, descrevemos como atender a essas restrições, mantendo a correção da redução.$e_i \in F_i$

Primeira etapa. Corrija qualquer fórmula 3-SAT ϕ . Suponha ao WLOG que cada cláusula tenha exatamente três literais (cada um usando uma variável diferente). Produza a seguinte instância ( F , U , k ) do problema postado, com k = 3 .$\phi$$(F,U,k)$$k=3$

Seja n o número de variáveis ​​em ϕ . Existem 3 N + 1 elementos em L : um elemento t (para "verdadeiro"), e, para cada variável x i em φ , três elementos x i , ¯ x i , e f i (para "falso").$n$$\phi$$3n+1$$U$$t$$x_i$$\phi$$x_i$$\overline x_i$$f_i$

Para cada elemento em L , existe um conjunto Singleton contendo apenas o elemento em M . Qualquer solução de C inclui, por conseguinte, cada um destes conjuntos, os quais contribuem com o seu tamanho total de 3 n + 1 para o custo de C .$U$$F$$C$$3n+1$$C$

Além disso, para cada variável x i em φ existe um conjunto "variável" { x i , ¯ x i , f i , t } em F . Para cada cláusula φ existe um conjunto "cláusula" em F consistindo dos literais na cláusula, e t . Por exemplo, a cláusula x 1 ∧ ¯ x 2 ∧ x 3 rendimentos do conjunto { x 1 , ¯ x 2 , $x_i$$\phi$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$F$$\phi$$F$$t$$x_1\wedge \overline x_2 \wedge x_3$3 , t } em F .$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$F$

Reivindicação 1. A redução está correta: ϕ é satisfatória se alguma solução C custar ∑ j | C j | = 5 n + 1 .$\phi$$C$$\sum_j |C_j| = 5n+1$

(apenas se) Suponha que ϕ seja satisfatório. Construir uma solução de C que consiste nos 3 n + 1 grupos Singleton, além disso, para cada variável x i , a par consistindo da verdadeira literal e t . (Por exemplo, { ¯ x i , t } se x i for falso.) O custo de C é então 5 n + 1 . $\phi$$C$$3n+1$$x_i$$t$$\{\overline x_i, t\}$$x_i$$C$$5n+1$

Cada conjunto de variáveis { x i , ¯ x i , f i , t } é a união de três conjuntos: a par consistindo da verdadeira literal e T , mais dois conjuntos únicos, um para cada um dos outros dois elementos. (Por exemplo, { ¯ x i , t } , { x i } , { f i } .)$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$t$$\{\overline x_i, t\}, \{x_i\}, \{f_i\}$

Cada conjunto de cláusulas (por exemplo, { x 1 , ¯ x 2 , x 3 , t } ) é a união de três conjuntos: um par que consiste em te literal literal, além de dois conjuntos singleton, um para cada um dos outros dois literais. (Por exemplo, { x 1 , t } , { ¯ x 2 } , { x 3 } .)$\{x_1, \overline x_2, x_3, t\}$$t$$\{x_1, t\}, \{\overline x_2\}, \{x_3\}$

(se) Suponha que exista uma solução C de tamanho 5 n + 1 . A solução deve conter os 3 n + 1 conjuntos singleton, além de outros conjuntos de tamanho total 2 n .$C$$5n+1$$3n+1$$2n$

Considere primeiro os n conjuntos de "variáveis", cada um da forma { x i , ¯ x i , f i , t } . O conjunto é a união disjunta de no máximo três conjuntos em C . Sem perda de generalidade, é a união disjunta de dois singletons e um par (caso contrário, a divisão de conjuntos em C consegue isso sem aumentar o custo). Indique o par P i . O pares P i e P j por diferentes variáveis x i e x j são distintos, porque$n$$\{x_i, \overline x_i, f_i, t\}$$C$$C$$P_i$$P_i$$P_j$$x_i$$x_j$P i contém x i , ¯ x i , ou f i, mas P j não. Portanto, a soma dos tamanhos desses pares é 2 n . Portanto, esses pares são os únicos conjuntos não singleton na solução. $P_i$$x_i$$\overline x_i$$f_i$$P_j$$2n$

A seguir, considere os conjuntos de "cláusulas", por exemplo, { x i , ¯ x j , x k , t } . Cada um desses conjuntos deve ser a união de no máximo três conjuntos em C , ou seja, até dois conjuntos singleton e pelo menos um par P i , P j ou P k . Pela inspeção dos pares e do conjunto de cláusulas, deve ser a união de dois singletons e um par, e esse par deve ter a forma { x i , t } ou { ¯ x j , t $\{x_i, \overline x_j, x_k, t\}$$C$$P_i$$P_j$$P_k$$\{x_i, t\}$$\{\overline x_j, t\}$ (a literal and $t$).

Hence, the following assignment satisfies $\phi$: assign true to each variable $x_i$ such that $P_i=\{x_i, t\}$, assign false to each variable $x_i$ such that $P_i=\{\overline x_i, t\}$, and assign the remaining variables arbitrarily.

Fase 2. A instância ( F , U , k = 3 ) produzida acima não satisfaz a restrição e i ∈ F i declarada na descrição do problema. Corrija essa falha da seguinte maneira. Ordene os conjuntos F i e os elementos e i em U para que cada conjunto singleton corresponda ao seu elemento e i . Seja m o número de cláusulas em ϕ , então | F | = 1 + 4 n $(F,U,k=3)$$e_i \in F_i$$F_i$$e_i$$U$$e_i$$m$$\phi$$|F|=1+4n+m$ and $|U|=1+3n$.

Let $(F', U', k'=4)$ denote the instance obtained as follows. Let $A$ be a set of $2n+2m$ new artificial elements, two for each non-singleton set in $F$. Let $U'=U\cup A$. Let $F'$ contain the singleton sets from $F$, plus, for each non-singleton set $F_i$ in $F$, two sets $F_i\cup \{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i,a_i'\}$, where $a_i$ and $a_i'$ are two elements in $A$ chosen uniquely for $F_i$. Now $|F'|=|U'|=1+5n+2m$ and (with the proper ordering of $F'$ and $U'$) the constraint $e'_i\in F'_i$ is met for each set $F'_i$.

To finish, note that $(F',U',k'=4)$ has a solution of cost $|A|+5n+1$ iff the original instance $(F, U, k=3)$ has a solution of cost $5n+1$.

(if) Given any solution $C$ of cost $5n+1$ for $(F,U,k=3)$, adding the $n+m$ sets $\{a_i, a'_i\}$ (one for each non-singleton $F_i$, so these partition $A$) to $C$ gives a solution to $(F', U', k'=4)$ of cost $|A|+cost(C)=|A|+5n+1$.

(only if) Consider any solution $C'$ for $(F', U',k=4)$ of cost $|A|+5n+1$. Consider any pair of non-singleton sets $F_i\cup\{a_i, a_i'\}$ and $\{a_i, a_i'\}$ in $F'$. Each is the disjoint union of at most 4 sets in $C'$. By a local-exchange argument, one of these sets is $\{a_i, a_i'\}$ and the rest don't contain $a_i$ or $a_i'$ --- otherwise this property can be achieved by a local modification to the sets, without increasing the cost... (lack of detail here is why I'm calling this a proof sketch). So removing the $\{a_i, a_i'\}$ sets from $C'$ gives a solution $C$ for $(F,U,k=3)$ of cost $5n+1$. $\diamond$