O problema ODD EVEN DELTA

Seja um gráfico. Seja ser um número inteiro. Deixe ser o número de borda induzida subgráficos de tendo vértices e um número ímpar de arestas. Vamos ser o número de borda induzida subgráficos de tendo vértices e um número par de arestas. Seja . O delta ainda TDO problema consiste em computar , dada $G = ( V, E )$ $k \leq |V|$ $O_k$ $G$ $k$ $E_k$ $G$ $k$ $\Delta_k = O_k - E_k$ $\Delta_k$ e . $G$ $k$

Questões

É possível calcular em tempo polinomial? Qual é o algoritmo mais conhecido para computá-lo? $\Delta_k$

E se for 3-regular? $G$

E se for bipartido 3-regular? $G$

E se for um plano bipartido 3-regular? $G$

— Giorgio Camerani
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Qual é a sua motivação?

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Minha motivação é que, se a 1ª parte da 1ª pergunta tiver uma resposta afirmativa (mesmo apenas no caso planar bipartido 3-regular), haveria algumas conseqüências interessantes que mereciam uma exploração mais aprofundada. Se o algoritmo for subexponencial, ele ainda terá algumas consequências (menos interessantes, mas ainda assim merecendo mais exploração).

— Giorgio Camerani

Você pode ser mais específico? O que você quer dizer com "algumas consequências interessantes"? Como você encontrou esse problema em primeiro lugar?

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Poderíamos continuar essa conversa em particular, por e-mail?

— Giorgio Camerani

Respostas:

O problema ODD EVEN DELTA é # P-difícil, mesmo em gráficos planares bipartidos 3-regulares.

Deixe ser o conjunto de cobertura de vértices de um grafo geral . Então, assumindo que não tenha vértices isolados, a seguinte equação é válida (consulte o artigo acima para obter a prova): $\mathcal{C}$ $G$ $G$

| C | = 2^{| V |} - \sum_{k = 2}^{| V |} Δ_{k} \cdot 2^{| V | - k}

$|\mathcal{C}| = 2^{|V|} - \sum_{k = 2}^{|V|} \Delta_k \cdot 2^{|V|-k}$

A contagem de capas de vértices é # P-completa, mesmo em gráficos planares bipartidos tridimensionais, e isso pode ser feito com um número linear de chamadas para um oráculo ODD EVEN DELTA.

— Giorgio Camerani
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ATUALIZAR:

$k = |V|$ $k$

A estrutura de Holant é essencialmente uma soma exponencial sobre subgráficos de abrangência (ou seja, todos os vértices estão presentes no subgrafo, portanto, a soma está sobre os subconjuntos de arestas). Por outro lado, a versão atual da pergunta é sobre subgráficos induzidos por arestas.

$|V|$

Gráficos planares regulares

$G$

Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) .

$\text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]).$

Deixe-me explicar como. Para mais detalhes do que eu forneço abaixo, consulte este documento .

O Holant é uma soma sobre atribuições (booleanas) às arestas. Nos vértices, há restrições de quem são as entradas para as arestas de incidentes. Para cada atribuição às arestas, usamos o produto de todas as restrições de vértices.

Seu requisito de que não haja vértices isolados é a restrição que não é atendida em um vértice específico se nenhuma de suas arestas incidentes for selecionada e será atendida se pelo menos uma aresta for selecionada. Essa restrição simétrica é denotada por [0,1,1,1], que gera 0 (isto é, não satisfeito) quando o número de entradas 1 é 0 (ou seja, nenhuma aresta de incidente no subgráfico) e gera 1 (isto é, satisfeito) quando o número da entrada 1 é 1, 2 ou 3 (ou seja, 1, 2 ou 3 arestas de incidentes no subgráfico).

$G$ $G$ $n$ $(-1)^n = 1$ $n$ $(-1)^n = -1$

Este problema bipartido de Holant é # P-difícil pelo Teorema 6.1 neste artigo . No entanto, esse teorema não é o mais fácil de aplicar. Em vez disso, considere o seguinte.

$T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$

\begin{aligned} Pl-Holant ([1, 0, - 1] | [0, 1, 1, 1]) & = Pl-Holant ([1, 0, - 1] T^{\otimes 2} | (T^{- 1})^{\otimes 3} [0, 1, 1, 1]) \\ = Pl-Holant ([1, - 1, 0] | [1, 0, 0, 1]) . \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Pl-Holant}([1,0,-1]|[0,1,1,1]) &= \text{Pl-Holant}([1,0,-1] T^{\otimes 2}|(T^{-1})^{\otimes 3}[0,1,1,1])\\ &= \text{Pl-Holant}([1,-1,0]|[1,0,0,1]). \end{align*}$

Então é fácil ver que esse problema é # P-difícil pelo Teorema 1.1 neste artigo .

Restringindo a gráficos bipartidos

Assim como sua pergunta anterior , o mesmo problema restrito a gráficos bipartidos é muito mais difícil de lidar e acredito que ainda seja um problema em aberto. Temos uma conjectura sobre os casos tratáveis (e vou verificar se o seu problema é um deles), mas acho que o seu problema ainda é difícil, mesmo quando restrito a gráficos bipartidos.

— Tyson Williams
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Obrigado por dedicar seu tempo a esta pergunta e por fornecer uma resposta tão detalhada. Como não estou familiarizado com a estrutura de Holant, precisarei de algum tempo para analisá-la e metabolizar totalmente seu raciocínio (é claro que não tenho dúvidas sobre sua correção, é só que eu quero entender cada passo, não apenas a conclusão) . No que diz respeito à restrição bipartidária, sim, seria muito bom se você pudesse verificar se suas conjecturas de casos tratáveis abrangem o meu problema.

— Giorgio Camerani