Aplicações da teoria das representações do grupo simétrico

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Inspirado por esta pergunta e, em particular, pelo parágrafo final da resposta de Or, tenho a seguinte pergunta:

Você conhece alguma aplicação da teoria de representação do grupo simétrico no TCS?

O grupo simétrico é o grupo de todas as permutações de com a composição da operação do grupo. Uma representação de é um homomorfismo de para o grupo linear geral de matrizes complexas invertíveis . Uma representação atua em por multiplicação de matrizes. Uma representação irredutível de é uma ação que não deixa nenhum subespaço adequado de invariante. Representações irredutíveis de grupos finitos permitem definir uma transformação de Fourier sobre grupos não abelianos $S_n$ $\{1, \ldots, n\}$ $S_n$ $S_n$ $n \times n$ $\mathbb{C}^n$ $S_n$ $\mathbb{C}^n$ . Essa transformação de Fourier compartilha algumas das boas propriedades da transformação discreta de Fourier sobre grupos cíclicos / abelianos. Por exemplo, a convolução torna-se multiplicação pontual na base de Fourier.

A teoria da representação do grupo simétrico é maravilhosamente combinatória. Cada representação irredutível de corresponde a uma partição inteira de . Essa estrutura e / ou a transformação de Fourier sobre o grupo simétrico encontraram alguma aplicação no TCS? $S_n$ $n$

— Sasho Nikolov
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ver também aplicações do grupo simétrico , a Wikipedia

— vzn

todas respostas muito interessantes. vou ter dificuldade em escolher um para aceitar.

— Sasho Nikolov 23/09/12

decente puramente teórico introdução / overview, Jovem Tableaux e as representações do grupo simétrico, por Zhao

— vzn

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Este artigo chegou ao quant-ph arXiv: uma solução para a tipicidade de duas partes usando a teoria da representação do grupo simétrico de Janis Noetzel.

— Tyson Williams

A fatoração matricial baseada em simetria de Egner e Puschel usa elementos de e teoria da representação para uma fatoração / decomposição / multiplicação eficiente da matriz. veja S3.2 sobre simetria Perm-Perm.

S_{n}

$S_n$

— vzn

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Aqui estão alguns outros exemplos.

Diaconis e Shahshahani (1981) estudaram quantas transposições aleatórias são necessárias para gerar uma permutação quase uniforme. Eles provaram um limiar acentuado de 1/2 n log (n) +/- O (n). Gerando uma permutação aleatória com transposições aleatórias .
Kassabov (2005) provou que é possível construir um expansor de grau limitado no grupo simétrico. Grupos simétricos e gráficos de expansão .
Kuperberg, Lovett e Peled (2012) provaram que existem pequenos conjuntos de permutações que agem uniformemente nas k-tuplas. Existência probabilística de estruturas combinatórias rígidas .

— Shachar Lovett
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Obrigado Shachar, e bem-vindo ao cstheory! Tomei a liberdade para fixar os seus links: eles eram um pouco incompatíveis

— Sasho Nikolov

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Uma pergunta muito boa. Não sei a resposta completa e gostaria de saber ela mesma. No entanto, você pode achar o seguinte interessante. Se, em vez do grupo , considerarmos seu monóide 0-Hecke , ele uma representação em uma determinada classe de matrizes inteiras que atua por multiplicação tropical . Isso tem muitas aplicações interessantes em stringology, através de caminhos mais curtos de várias fontes em gráficos semelhantes a grades. Para detalhes, veja meu relatório técnico: $S_n$ $H_0(S_n)$ $(\min,+)$

A. Tiskin. Comparação semi-local de strings: técnicas e aplicações algorítmicas. http://arxiv.org/abs/0707.3619

— Alexander Tiskin
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Obrigado! Parece muito interessante e com certeza vou dar uma olhada.

— Sasho Nikolov 26/09/12

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Aqui está um exemplo que eu sei:

`` Sobre a conjectura 'Log-Rank' na complexidade da comunicação '' , R.Raz, B. Spieker,

Proceeding of the 34th FOCS, 1993, pp. 168-177
Combinatorica 15(4) (1995) pp. 567-588

Eu acredito que há muito mais.

— Klim
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3

Você poderia resumir quais modelos de representação e como eles são aplicados?

— Vijay D

@VijayD provavelmente Klim sabe mais, mas o problema aqui é como a complexidade da comunicação de uma função está relacionado ao logaritmo de sua classificação (pensando em como uma matriz real ). Eles constroem um de classificação e CC . O posto de é calculado por escrevê-lo como a soma de matrizes na representação regular de

f : {0, 1}^{n} \times {0, 1}^{n} \to {0, 1}

$f:\{0,1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$

f

$f$

2^{d} \times 2^{d}

$2^d \times 2^d$

f

$f$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

Ω (n \log \log n)

$\Omega(n \log \log n)$

f

$f$

S_{n}

$S_n$

— Sasho Nikolov

Na verdade, li este artigo há algum tempo, e agora não me lembro exatamente.

— Klim

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Aqui está um exemplo da computação quântica:

Roland, Jeremie; Roetteler, Martin; Magnin, Loïck; Ambainis, Andris (2011), "Adversaries Assistidos por Simetria para Geração de Estado Quântico", Anais da 26ª Conferência Anual da IEEE de 2011 sobre Complexidade Computacional, CCC '11, IEEE Computer Society, pp. 167-177, doi: 10.1109 / CCC. 2011.24

Eles mostram que a complexidade da consulta quântica de um determinado problema chamado Index Erasure é usando a teoria de representação do grupo simétrico para construir uma matriz adversa ideal para se conectar ao método do adversário quântico. $\Omega(\sqrt{n})$

— Robin Kothari
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O terceiro volume de Knuth da The Art of Computer Programming é dedicado à pesquisa e classificação e dedica muito à combinatória e permutações e à correspondência de Robinson-Schensted-Knuth , que é central na teoria das representações do grupo simétrico.
Existem vários artigos de Ellis-Friedgut-Pilpel e Ellis-Friedgut-Filmus que resolvem problemas combinatórios extremos usando análise harmônica em . Não é bem o TCS, mas é bem próximo. $S_n$
No início dos anos 90, Ajtai obteve resultados maravilhosos na representação modular de , motivada por questões de complexidade computacional. Não me lembro dos detalhes ou se foram publicados, mas vale a pena ler! $S_n$

— Gil Kalai
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Obrigado Gil! Acredito que um dos artigos de Ajtaj que você tem em mente é este: eccc.hpi-web.de/eccc-reports/1994/TR94-015/index.html . Acho que o aplicativo é para provar a complexidade do princípio do buraco de pombo, mas ainda não entendo a conexão.

— Sasho Nikolov

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O grupo simétrico desafia a forte amostragem de Fourier por Moore, Russell, Schulman

"mostramos que o problema do subgrupo oculto no grupo simétrico não pode ser resolvido com eficiência por uma forte amostragem de Fourier ... Esses resultados se aplicam ao caso especial relevante para o problema do isomorfismo de grafos."

com uma conexão para resolver o problema do isomorfismo gráfico através de abordagens de QM

sec 5 Teoria das representações do grupo simétrico

— vzn
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Mais estatística do que ciência da computação, mas ainda interessante: no capítulo 8 da monografia de Diaconis sobre representações geográficas de grupo em probabilidade e estatística , são desenvolvidas técnicas de análise espectral para dados associados a um grupoIsso estende a análise espectral mais clássica dos dados de séries temporais, onde o natural é o real ou o número inteiro a ser adicionado. Faz sentido considerar como quando os dados são fornecidos por classificações. A monografia é usada para interpretar os coeficientes de Fourier dos dados de classificação. Nesse caso, o conjunto de dados é representado por $G$ $G$ $G$ $S_n$ $f:S_n \rightarrow \mathbb{R}^+$ que mapeia as classificações (dadas por uma permutação) para a fração da população que prefere a classificação.

Também no mesmo capítulo, a análise de Fourier sobre os grupos simétricos e outros é usada para derivar modelos e testes ANOVA.

Uma extensão natural disso seria a teoria da aprendizagem estatística para classificar problemas que se beneficiam das técnicas teóricas da representação de maneira semelhante à maneira como a teoria da aprendizagem para classificação binária sob a distribuição uniforme se beneficiou da análise de Fourier no cubo booleano.

— Sasho Nikolov
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Qual é a estrutura natural do grupo para classificar problemas?

— Suresh Venkat

1

@Suresh Eu tinha em mente o grupo simétrico, mas meu último parágrafo é mais positivo do que qualquer outra coisa. Eu tinha em mente um problema semelhante a junta nos rankings: aprender uma função que depende da ordem relativa de apenas alguns elementos de de poucas amostras. Talvez técnicas de Fourier pode dar limites amostra não triviais

f : S_{n} \to {0, 1}

$f:S_n \rightarrow \{0, 1\}$

[n]

$[n]$

— Sasho Nikolov

5

A teoria da representação do grupo simétrico desempenha um papel fundamental na abordagem da Teoria da complexidade geométrica para limites mais baixos na multiplicação determinante ou na matriz.

Bürgisser e Ikenmeyer provam um limite inferior no nível de fronteira da multiplicação de matrizes usando a teoria da representação de . $S_n$
Para saber como a teoria da representação de se relaciona com limites inferiores no determinante, consulte Teoria da Complexidade Geométrica II: Rumo a Obstruções Explícitas para Casamentos entre Variedades de Classe e Teoria da Complexidade Geométrica VI: O Fluxo por Positividade $S_n$

— Joshua Grochow
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Tese de doutorado de Huangs, RAZÃO PROBABILISTA E APRENDIZAGEM DE PERMUTAÇÕES: explorando decomposições estruturais do grupo simétrico . o aplicativo é "um cenário real de rastreamento de várias pessoas baseado em câmera".
Inferência teórica probabilística de Fourier sobre permutações por Huang, Guestrin, Guibas; Journal of Machine Learning Research 10 (2009) 997-1070. veja, por exemplo, a seção 5. Teoria da representação no grupo simétrico
outro papel de aplicação multitracking. Rastreamento de múltiplos objetos com representações do grupo simétrico (2007) por Kondor, Howard, Jebara
Distribuições de probabilidade de aprendizagem sobre Permutações por meio de coeficientes de Fourier, Irurozki, Calvo, Lozano (Departamento CS / AI). ver seção 2 A transformação de Fourier no grupo simétrico

— vzn
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1

Eu sugiro fusão esta resposta com a outra referência permutações de aprendizagem

— Sasho Nikolov

ok ... mesclando ...

— vzn 25/09/12

ver também Interpretando o espectro de fase na análise de Fourier do Ranking Parcial de dados e uma abordagem de processamento de sinal para análise de Fourier dos dados do ranking: a importância da fase de Kakarala que parece estender o trabalho muito mais cedo por Diaconis

— vzn

-1

Aplicação da Teoria da Representação de Grupos Simétricos para Computação de Polinômios Cromáticos de Gráficos por Klin e Pech

— vzn
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aplicação ps

— vzn 25/09/12

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Neste artigo altamente citado por Beals, 1997, o STOC parece provar que o cálculo quântico de transformadas de Fourier sobre grupos simétricos está no BQP, isto é, tempo polinomial quântico

— vzn
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2

Novamente, isso acontece com o outro artigo quântico a que você se refere. a principal motivação para o desenvolvimento da transformação de Fourier não abeliana foi usá-la para resolver o problema do subgrupo oculto no grupo simétrico. o outro artigo que você cita mostra que essa abordagem não resolve o problema.

— Sasho Nikolov 25/09/12

btw ser claro: o que quero dizer com o comentário acima é sugerir a se fundir esta resposta com a outra resposta QM e explicar como os dois estão relacionados (porque são)

— Sasho Nikolov

ok Moore e outros citam Beals, embora não tenha sido assim que encontrei o artigo sobre Beals. pode mesclar mais tarde, mas agora algum público não parece como este Beals ref por qualquer motivo (antigo, substituído etc ...?)

— vzn

não tenho certeza, acho que é uma referência aceitável. Um problema para mim é que você não explica por que é importante poder calcular a transformação de fourier não abeliana, como ela é motivada.

— Sasho Nikolov

1

eu preferiria que as respostas fossem por si só e dessem ao leitor uma pista suficiente para poder decidir se deveria ler o artigo completo ou não. eu gostaria que a resposta mostrasse mais do que uma compreensão superficial do material.

— Sasho Nikolov 25/09/12

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um exemplo mais antigo, mas ainda com pesquisas recentes / em andamento, parte dessa teoria aparece na matemática do "embaralhamento perfeito" , visto como um elemento do grupo simétrico e que era uma descoberta famosa na época. [1] menciona aplicações do algoritmo de processamento aleatório perfeito para paralelo e também a conexão com Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] é mais recente. o shuffle perfeito aparece em processamento paralelo [3], design de memória e redes de classificação.

[1] Matemática do shuffle perfeito de Diaconis, Graham, Cantor. 1983

[2] Ciclos da permuta aleatória perfeita de várias vias por Ellis, Fan, Shallit (2002)

[3] Processamento paralelo com o embaralhamento perfeito de Stone, 1971

[4] Rede Omega baseada em embaralhamento perfeito

[5] Permutação no local paralela e seqüencial e embaralhamento perfeito usando involuções Yang et al (2012)

— vzn
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A teoria da representação é usada nesses trabalhos?

— Sasho Nikolov 23/09/12

parece ser um caso especial disso

— vzn 24/09/12

2

qual é um caso especial de quê? o shuffle perfeito é uma permutação. Estou perguntando, a teoria da representação é usada nas provas desses artigos? eu não encontrei nenhum.

— Sasho Nikolov

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caso contrário, existem modelos probabilísticos de embaralhamento (imperfeito) e o embaralhamento repetido usando um desses modelos é uma caminhada aleatória nas permutações. às vezes é possível analisar o tempo de mistura de uma caminhada aleatória usando análise de Fourier no grupo simétrico: Shachar deu um exemplo para o embaralhamento aleatório das transposições. suas referências são interessantes, mas não vejo nenhuma conexão com a teoria das representações: os trabalhos estão preocupados com alguns (dois em [1]) embaralhamentos determinísticos e os grupos de permutação que eles geram. a análise parece ser combinatória

— Sasho Nikolov

o embaralhamento imperfeito também é interessante, mas todo o ponto da resposta é embaralhamento perfeito. parece que os mesmos resultados acima poderiam ser reformulados ou comprovados através da teoria da representação, ou estão usando alguns aspectos essenciais, sem referência óbvia / direta a ela. note shachars answer cita Diaconis, mesmo autor em um dos artigos desta resposta. em outras palavras, os autores acima certamente poderiam responder melhor à sua pergunta, mas minha expectativa é que eles respondessem pelo menos um pouco afirmativamente =) ... além de você ter descrito a teoria da representação como "maravilhosamente combinatória" em sua própria pergunta!

— vzn