Qual é a complexidade da gaxeta de retângulo quando as rotações são permitidas?

No problema retângulo embalagem, um é dado um conjunto de retângulos e delimitadora retângulo R . A tarefa é encontrar um posicionamento de r 1 , … , r n dentro de R de modo que nenhum dos n retângulos se sobreponha. Geralmente, a orientação de cada retângulo r i é fixa. Ou seja, os retângulos não podem ser girados. Nesse caso, sabe-se que o problema é NP-completo (consulte, por exemplo, Korp 2003 ).$\{r_1,\dots,r_n\}$$R$$r_1,\ldots,r_n$$R$$n$$r_i$

Qual é a complexidade do problema de empacotamento de retângulos se os retângulos podem ser girados em graus?$90$

Intuitivamente, permitir rotações só deve dificultar o problema, pois é preciso primeiro escolher uma orientação para cada retângulo e depois resolver o problema de vedação sem rotação. Mas a prova de dureza NP da caixa sem rotação é uma redução do empacotamento de caixas e parece depender criticamente da orientação fixa de cada retângulo para construir as caixas. Não consegui encontrar uma prova de dureza NP correspondente para o caso em que as rotações são permitidas.

Podemos reduzir o problema de empacotamento sem rotações ao problema de empacotamento permitido por rotações da seguinte maneira. Tome qualquer instância do problema de não rotação. Escale verticalmente a instância inteira por duas vezes a proporção da menor largura de qualquer retângulo r i dividido pela altura do retângulo R do contêiner . (Essa proporção possui um número polinomial de bits, para que a transformação possa ser executada em tempo polinomial.) Cada retângulo dimensionado r $(R, r_1, r_2, \dots, r_n)$$r_i$$R$ se encaixa dentro do recipiente dimensionado R ' apenas em sua orientação original, permitindo que as rotações não adicionem novas soluções.$r'\!\!_i$$R'$