Consequências de limites inferiores para

Muitos aqui provavelmente estão cientes dos recentes limites inferiores super-lineares de Alon para redes em uma configuração geométrica natural [PDF] . Gostaria de saber o que, se é que existe alguma coisa, um limite tão baixo implica na proximidade dos problemas associados ao conjunto de tampa / conjunto de batidas. $\epsilon$

Para ser um pouco mais específico, considere uma família de espaços de intervalo, por exemplo, a família:

$\big\{(X,\mathcal{R})$ : é um conjunto de pontos planares finitos, contém todas as interseções de com as linhas$X$$\mathcal{R}$$X$$\big\}$

Se, para alguma função que é linear ou super-linear, a família contiver um espaço de intervalo que não admite redes de tamanho , o que, se houver alguma coisa, isso implica no Acerto Mínimo Definir problema restrito a essa família de espaços de intervalo?$f$$\epsilon$$f(1/\epsilon)$

Se um espaço de intervalo tiver -net do tamanho , o intervalo de integralidade do conjunto de batidas fracionárias (ou tampa do conjunto) será . Veja o trabalho de Philip Long ( aqui [o trabalho de The Even et al. É posterior a este trabalho e redescobre algumas de suas coisas]). Veja também os slides 13-16 aqui .f ( 1 / ϵ ) f ( 1 / ϵ ) / ( 1 / ϵ $\epsilon$$f(1/\epsilon)$$f(1/\epsilon)/(1/\epsilon)$

Em resumo, ter redes não lineares indica que aproximar o problema relevante da cobertura do conjunto de batidas / conjuntos dentro de um fator melhor que um fator constante será muito desafiador.$\epsilon$

Não tenho certeza se isso implica alguma coisa. Os principais resultados fluem na outra direção, ou seja, pelas construções Bronnimann / Goodrich ou Even / Rawitz / Shahar , uma rede de tamanho linear implica uma aproximação constante de fatores para o conjunto de acertos (para a dimensão de CV limitada),