No System F à la Church, podemos automatizar a inferência de tipos para a eliminação de todos?

A questão é a seguinte. Geralmente quando se tem um termo como , podemos eliminar o forall por aplicar este termo a um tipo, como exemplo ( Λ X . t ) [ t ] → t [ X : = T ] .$\Lambda X.t$$(\Lambda X.t)[T]\to t[X:=T]$

Agora, suponha que seja uma flecha e desejemos fornecer um argumento; então, precisamos aplicar esse termo ao tipo apropriado, para que ele possa receber esse argumento. É isso que estou perguntando se posso automatizar: É possível construir uma função usando dois termos e retornando um tipo tal que nos forneça o tipo necessário para ser substituído por em modo que possa aceitar o argumento ?f < Λ X . t > < r > X t t $f$$f<{\Lambda X.t}><{r}>$$X$$t$$t$$r$

Alguns exemplos:

• $f<{\Lambda X.\lambda x^{X\to X}.t}><{\lambda x^T.x}>=T$ .

• $f<{\Lambda X.\lambda x^X.r}><{(\lambda x^{R}.t^T)~s}>=T$

Não tenho muita certeza de ter entendido a pergunta. Primeiro, tento reduzir o seu problema ao seguinte problema de unificação:

Dado um sistema F, digite τ (X) com uma variável livre (do tipo) X e um tipo σ.
É possível encontrar um tipo γ tal que τ (γ) = σ?

Aqui está um pseudocódigo (com uma exceção levantada quando não é unificável) para resolver esse problema.

unify (X, σ) = σ
unify (Y, Y) = Y
unify (τ₁ → τ₂, σ₁ → σ₂) = unify(τ₁,σ₁) → unify(τ₂,σ₂)
unify (∀Y.τ(Y), ∀Y.σ(Y)) = ∀Y.unify(τ(Y),σ(Y)) (with Y a fresh variable)
unify (_,_) = raise Not_unifiable

Você pode provar (por indução) que γ = τ (unificar (τ (X), σ) funciona se e somente uma exceção não for gerada.

Agora, para o seu problema, você pode

f (ΛX.t) (r) = match type of t with "τ₁ → τ₂" => unify (τ₁, type of r) | _ => fail end

(é claro que sua função f deve ter como argumento um contexto se seus termos estiverem abertos).