Provas, Barreiras e P vs NP

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É sabido que qualquer prova que resolva a questão P vs NP deve superar a relativização , provas naturais e barreiras à algebrização . O diagrama a seguir divide o "espaço de prova" em diferentes regiões. Por exemplo, corresponde ao conjunto de provas que relativizam e naturalizam. (Teoria da Complexidade Geométrica) é obviamente a região estritamente externa. $RN$ $GCT$

Cite algumas provas junto com as regiões mais conhecidas às quais elas pertencem. Coloque-os da melhor maneira possível, ou seja, se for sabido que uma prova relativiza, naturaliza e algebriza, ela deve ser colocada no não apenas no . Se uma prova é relativizada, mas não naturalizada, ela pertence a e assim por diante. $RNA$ $RN$ $R$ ${\setminus}$ $N$

texto alternativo

— Shiva Kintali
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Mas existem provas válidas conhecidas de P vs NP?

— gphilip

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Eu acho que essa é uma pergunta clássica da CW.

— Suresh Venkat

@ gphilip Estamos falando de provas de limite inferior na teoria da complexidade em geral.

— Shiva Kintali

@Suresh A colocação de provas nessas regiões é altamente não trivial. As pessoas que postarem respostas devem ser recompensadas (com votos positivos), pelo conhecimento e compreensão dessas barreiras. O que você acha ?

— Shiva Kintali 17/09/10

Depois de ler a resposta de Suresh abaixo, acho que recebi a pergunta (corrija-me se estiver errado): você está procurando classificações do formulário "Se uma prova que resolve P vs NP tem a propriedade X, ela pertence à região Y no cenário." Na resposta de Suresh, X é "Interativo" e Y está fora de R, possivelmente fora de N também.

— Gphilip 17/09/10

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Eu acho que você precisa redesenhar seu diagrama de Venn ... qualquer restrição de classes de complexidade que relativize também será alterada, pelo menos no sentido de Aaronson e Wigderson. Ou seja, o acesso à "extensão de baixo grau" de um oráculo é apenas mais poderoso que o acesso ao oráculo. Da mesma forma, qualquer oráculo que mostre que uma separação requer técnicas "não-algebrizantes" implica que também sejam necessárias técnicas "não-relativizantes".

— Ryan Williams
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Olá Ryan, mantive o diagrama simples, para que também possamos discutir o "colapso" dessas regiões. Por exemplo, sua resposta pode ser redefinida como " no sentido de Aaronson-Wigderson".

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— Shiva Kintali

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O que Ryan diz vale apenas para contenção. Um resultado como P = NP implica que P = PH seja relativizado, mas não algebrizado.

— precisa

@ Lance: Obrigado por esclarecer. Portanto, faz sentido deixar o diagrama como está.

— Shiva Kintali

3

Acabei de ver isso agora ... na verdade, Scott e Avi também dão várias implicações "algebrizantes". Sua noção é certamente definida de forma a incluir a relativização. (Para a implicação citada por Lance, eles provavelmente diriam que a implicação algebrizante é " implica . ")

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— Ryan Williams

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Ao contrário de algumas alegações anteriores neste tópico, a algebrização no sentido de Aaronson & Wigderson não é conhecida por incluir a relativização. Por exemplo,

\begin{matrix} (†) & (\exists C : C \subset N E X P \land C ⊄ P / p o l y) ⟹ N E X P ⊄ P / p o l y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

é uma afirmação que relativiza. (De fato, há uma prova relativizante, o que quer que isso possa significar para o leitor.) Mas não se sabe que algebrize, como aludido pelos próprios Aaronson & Wigderson na Seção 10.1 de seu artigo [1]. (Consequentemente, enquanto o AW nos diz que no diagrama acima, deve estar fora de , é possível que está dentro!) $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

No entanto, um trabalho recente de Eric Bach e eu [2] fornece uma formulação de algebrização que inclui a relativização. Basicamente, se pegarmos a noção AW de um oráculo algébrico - denotado como para alguma linguagem --- e modificá-lo sabiamente, podemos eliminar as patologias como acima. $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

O resultado é que a algebrização, quando definida adequadamente, é a relativização em relação a um oráculo algébrico - uma relativização algébrica, onde todo oráculo recebe um "movimento" - --- o que significa é o conjunto vazio no diagrama acima, portanto . $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf.
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/.

PS: Outra proposta de algebrização foi proposta por Impagliazzo, Kabanets e Kolokolova anteriormente, que também coloca dentro de , mas não é conhecido por ser tão poderoso quanto a noção de AW. Veja meu artigo com Eric para uma comparação. $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— Barış Aydınlıoğlu
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Obrigado Baris. Eu estou feliz que alguém finalmente encontrou a noção de algebrização que formalmente faz o que pensamos que deve :)

— Ryan Williams

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Os teoremas da hierarquia do tempo e do espaço se relativizam. Eles são uniformes, por isso não parecem naturalizar.

Penso que resultados de diagonalização indireta, como os limites inferiores do TimeSpace de Lance Fortnow, et al. e também o resultado de Ryan Williams não relativiza porque não é caixa preta (mas não tenho certeza disso). As provas não parecem naturalizar, pois usam teoremas de hierarquia.

As provas de permanente não uniforme em $TC^0$ usam teoremas de hierarquia e não parecem funcionar para casos não uniformes, e não parecem naturalizar. Por outro lado, não sei se eles se relativizam, podem com uma noção adequada de relativização.

— Kaveh
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7

As provas interativas não são relativizadas. Não acho que eles naturalizem porque são uniformes.

— Suresh Venkat
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