Complexidade do reconhecimento de gráficos transitivos em vértices

Não tenho conhecimento na área da teoria da complexidade envolvendo grupos, portanto peço desculpas se esse é um resultado bem conhecido.

Questão 1. Seja um gráfico simples e não direcionado da ordem n . Qual é a complexidade computacional (em termos de n ) de determinar se G é vértice-transitivo?$G$$n$$n$$G$

Recorde-se que um gráfico é vértice-transitivo se uma u t ( G ) actua transitively em$G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

Não tenho certeza se a definição acima permite um algoritmo de tempo polinomial, pois pode ser que a ordem de seja exponencial.$\mathrm{Aut}(G)$

No entanto, os gráficos transitivos em vértices têm outras propriedades estruturais que podem ser exploradas para poder determiná-las com eficiência, portanto, não tenho certeza de qual é o status da pergunta acima.

Outra subclasse interessante de gráficos transitivos em vértices que possui ainda mais estrutura é a classe de gráficos de Cayley . Portanto, é natural também fazer a seguinte pergunta relacionada

Questão 2. Qual é a complexidade computacional de determinar se um gráfico é um gráfico de Cayley?$G$

Não tenho uma resposta completa, mas acho que os dois problemas estão abertos.

O artigo de Jajcay, Malnič, Marušič [3] está relacionado à sua primeira pergunta. Eles fornecem algumas ferramentas para testar a transitividade de vértices. Eles dizem na introdução que:

Para um dado gráfico finito , é decididamente difícil determinar se Γ é transitivo em vértices, e a resposta final geralmente vem apenas depois que uma parte substancial do grupo automorfismo completo de Γ é determinada.$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

Observe que o teste de transitividade de vértice pode ser realizado testando o isomorfismo do gráfico vezes. Faça duas cópias G e G ' do seu gráfico, com âncoras especiais (como caminhos de comprimento n + 1 ) em u ∈ V ( G ) e v ∈ V ( G ′ ) . Existe um isomorfismo entre G e G ' se e somente se o gráfico original tiver um automorfismo mapeado de u para v . Assim, você pode testar a tansatividade do vértice fixando um vértice$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$ verificar se há automorfismos mapeando x para todos os outros vértices.$x$$x$

Observe também que, se o teste de transitividade de vértices pode ser realizado em tempo polinomial, o mesmo ocorre com o teste de isomorfismo para gráficos transitivos de vértices. Isso ocorre porque dois gráficos transitivos de vértice são isomórficos se e somente se sua união dissuasiva for transitiva de vértice. Eu acredito que a complexidade do isomorfismo de grafos para grafos transitivos por vértices não é conhecida.

Para a segunda pergunta, encontrei um resultado parcial. Um gráfico circulante é um gráfico de Cayley em um grupo cíclico. Evdokimov e Ponomarenko [2] mostram que o reconhecimento de gráficos circulantes pode ser feito em tempo polinomial. Também o capítulo do livro de Alspach [1, Capítulo 6: Gráficos de Cayley, Seção 6.2: Reconhecimento] seria interessante para você, apesar de dizer que:

Ignoraremos o problema computacional de reconhecer se um gráfico arbitrário é um gráfico de Cayley. Em vez disso, sempre assumimos que os gráficos de Cayley foram descritos em termos dos grupos nos quais eles são construídos, juntamente com os conjuntos de conexões. Para a maioria dos problemas, isso não é uma desvantagem.

1. Beineke, Wilson, Cameron. Tópicos na teoria algébrica de grafos . Cambridge University Press, 2004.
2. Evdokimov, Ponomarenko. Gráficos circulantes: Teste de reconhecimento e isomorfismo em tempo polinomial. St. Petersburg Math. J. 15 (2004) 813-835. doi: 10.1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič. Sobre o número de passeios fechados em gráficos transitivos em vértices. Matemática discreta. 307 (2007) 484-493. doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.039