Computando o fechamento da união

Dada uma família de no máximo subconjuntos de . O fecho de união é uma outra família conjunto contendo cada conjunto que pode ser construído, tendo a união de 1 ou mais conjuntos em . Pordenotamos o número de conjuntos em . n { 1 , 2 , … , n } F $\mathcal F$$n$$\{ 1, 2, \dots, n \}$$\mathcal F$$\mathcal C$$\mathcal F$$|\mathcal C|$$\mathcal C$

Qual é a maneira mais rápida de calcular o fechamento da união?

Eu mostrei uma equivalência entre o fechamento da união e a lista de todos os conjuntos independentes máximos em um gráfico bipartido; portanto, sabemos que decidir o tamanho do fechamento da união é # P-completo.

No entanto, há uma forma de listar todos os conjuntos independentes máximas (ou cliques maximais) em tempo para um gráfico com nodos e arestas Tsukiyama et al. 1977. Mas isso não é especializado em gráficos bipartidos.$O(|\mathcal C| \cdot nm)$$n$$m$

Demos um algoritmo para gráficos bipartidos com tempo de execução http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/BooleanWidth_I.pdf$|\mathcal C| \cdot \log |\mathcal C| \cdot n^2$

Nosso método é baseado na observação de que qualquer elemento em pode ser produzido pela união de algum outro elemento de C e um dos conjuntos originais. Portanto, sempre que adicionarmos um elemento a C, tentaremos expandi-lo por um dos n conjuntos originais. Para cada um desses n ⋅ | C | define precisamos verificar se eles ainda estão em C . Armazenamos C como uma árvore de pesquisa binária, para que cada pesquisa faça log | C | ⋅ n tempo.$C$$C$$C$$n$$n \cdot |C|$$C$$C$$\log |C| \cdot n$

É possível encontrar o fechamento da união no tempo O ( | C | ⋅ n 2 ) ? Ou mesmo a tempo O ( | C | ⋅ n ) ?$\mathcal C$$O(|\mathcal C| \cdot n^2)$$O(|\mathcal C| \cdot n)$

A complexidade de enumerar conjuntos independentes máximos em gráficos é a mesma que em gráficos bipartidos; portanto, a bipartida não traz nada de novo.

$O(|C|\cdot n^2)$