Como os futuros são descritos em termos de teoria de categorias?

Existe uma descrição útil de futuros ou promessas em termos de teoria de categorias? Em particular, qual poderia ser o dual categórico do futuro?

Por acaso, estou escrevendo um artigo sobre isso agora. Na OMI, uma boa maneira de pensar sobre futuros ou promessas é em termos da correspondência de Curry-Howard para lógica temporal .

Basicamente, a idéia por trás dos futuros é que é uma estrutura de dados que representa um cálculo em andamento e com o qual você pode sincronizar. Em termos de lógica temporal, este é o operador, eventualmente . Isto tem uma estrutura monadic: r e t u r n : Um → ◊ Uma b i n d : ( A → ◊ B ) → ◊ Um → ◊ B em que o r e t u r $\Diamond A$

$$\begin{array}{lcl} \mathrm{return} & : & A \to \Diamond A \\ \mathrm{bind} & : & (A \to \Diamond{B}) \to \Diamond{A} \to \Diamond{B} \end{array}$$ $\mathrm{return}$ operação gera um processo que retorna imediatamente o seu argumento, e cria um novo processo que espera por um valor 's, aplica f a esse valor, e em seguida, aguarda o B -valor antes de retornar. Aproposta Promises / A para CommonJSchama a operação de ligação monádicae oScala 2.10 apenas fornece a interface monádica padrão.$\mathrm{bind}$$a$$f$$B$then

O dual ao operador eventualmente é o operador sempre ◻ A da lógica temporal, que diz que a cada instante, você obtém um $\Diamond{A}$$\Box{A}$$A$ . Quando você passa de uma semântica Kripke da lógica temporal (onde você apenas modela a provabilidade) para uma semântica categorial de um cálcio (onde você também modela termos / provas lambda), verifica-se que existem várias maneiras de fazer isso.$\lambda$

A coisa mais simples que você pode fazer é tomar , alegando que uma vez que você tenha um$\Box{A} \triangleq A$ , você sempre o terá. Isso funciona, mas é meio chato, IMO. :)$A$

A coisa mais natural (IMO) a fazer é tomar , o que lhe permite ter uma (potencialmente diferente)$\Box{A} \triangleq \mathsf{Stream}\;A$$A$ em cada instante. Então, você pode ver o estilo comonádico de programação reativa funcional (FRP) (proposto por Tarmo Uustalu e Varmo Vene ) como o estilo dual a monádico de programação com futuros.

No entanto, o comonádico $\lambda$

Nick Benton e eu defendemos a programação explícita com fluxos em nosso artigo Ultrametric Semantics of Reactive Programs . Posteriormente, Alan Jeffrey sugeriu o uso do LTL como um sistema de tipos em seu artigo LTL types FRP , uma observação que Wolfgang Jeltsch também fez em seu artigo Em direção a uma semântica categórica comum para lógica temporal temporal linear e programação reativa funcional .

A diferença entre a visão de Nick e eu e a de Alan e Wolfgang é melhor compreendida (IMO) comparando-se a construção apresentada em Birkedal et al. primeiros passos de Em Primeiros passos na teoria sintética de domínios guardados: indexação de etapas nos topos de árvores com o papel de Alan. As topos das árvores (preenchem os números naturais ordenados por tamanho) são muito semelhantes à categoria de espaços ultramétricos usados ​​por Nick e eu, mas são muito mais fáceis de comparar com a categoria de Alan (preenchem uma categoria discreta de tempo), uma vez que ambos são pré-opostos categorias.

Se você estiver interessado em futuros especificamente para simultaneidade, talvez seja uma idéia melhor analisar CTL do que para o LTL. AFAIK, atualmente é um território inexplorado!

EDIT: aqui está um link para o rascunho . O artigo trata principalmente da implementação do FRP digitado, portanto o idioma é síncrono. Mas a maior parte da discussão sobre futuros / eventos na seção 3.3 deve se aplicar basicamente a idiomas verdadeiramente concorrentes também.