Robustez de dividir uma junta

Dizemos que uma função booleana $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ é uma $k$ -junta se $f$ tiver no máximo $k$ variáveis ​​de influência.

Deixe- $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ ser um $2k$ -junta. Denote as variáveis ​​de $f$ por $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Correção

$$S_1 = \left\{ x_1, x_2, \ldots, x_{\frac{n}{2}} \right\},\quad S_2 = \left\{ x_{\frac{n}{2} + 1}, x_{\frac{n}{2} + 2}, \ldots, x_n \right\}.$$ Claramente, existe$S \in \{S_1, S_2\}$tal que$S$contém pelo menos$k$das variáveis ​​influentes de$f$ .

Agora vamos $\epsilon > 0$ , e assumir que $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ é $\epsilon$ -muito de cada $2k$ -junta (ou seja, tem de se mudar uma fração de pelo menos $\epsilon$ dos valores de $f$ para torná-lo $2k$ -junta). Podemos fazer uma versão "robusta" da declaração acima? Ou seja, existe uma constante universal $c$ e um conjunto $S \in \{S_1, S_2\}$ tal que$f$ é$\frac{\epsilon}{c}$ -para qualquer função que contenha no máximo$k$variáveis ​​influentes em$S$?

Nota: Na formulação original da pergunta, $c$ foi fixado em $2$ . O exemplo de Neal mostra que esse valor de $c$ não é suficiente. No entanto, como nos testes de propriedades geralmente não estamos muito preocupados com constantes, relaxei um pouco a condição.

A resposta é sim". A prova é por contradição.

Para conveniência notacional, vamos denotar as primeiras n / 2 variáveis ​​por x e a segunda n / 2 variáveis ​​por y . Suponhamos que f ( x , y ) é δ -próximo para uma função f 1 ( x , y ) que depende apenas de k coordenadas x . Denuncie suas coordenadas influentes por T 1 . Da mesma forma, suponha que f ( x , y ) seja$n/2$$x$$n/2$$y$$f(x,y)$$\delta$$f_1(x,y)$$k$$x$$T_1$$f(x,y)$δ- fecha para uma função f 2 ( x , y ) que depende apenas dascoordenadas k de y . Denotam suas coordenadas influentes por T 2 . Precisamos provar que f é 4 δ - próximo a 2 k -junta ˜ f ( x , y ) .$\delta$$f_2(x,y)$$k$$y$$T_2$$f$$4\delta$$2k$$\tilde f(x,y)$

Digamos que ( x 1 , y 1 ) ∼ ( x 2 , y 2 ) se x 1 e x 2 concordam com todas as coordenadas em T 1 e y 1 e y 2 concordam com todas as coordenadas em T 2 . Escolhemos uniformemente aleatoriamente um representante de cada classe de equivalência. Seja ( ˉ x , ˉ y ) o representante da classe de ( x $(x_1,y_1) \sim (x_2,y_2)$$x_1$$x_2$$T_1$$y_1$$y_2$$T_2$$(\bar x, \bar y)$ , ) . Defina ˜ f da seguinte maneira: ˜ f ( x , y ) = f ( ˉ x , ˉ y ) $(x,y)$$\tilde f$

$$\tilde f(x,y) = f(\bar x, \bar y).$$

É óbvio que ~ f é um 2 k -junta (que depende somente de variáveis em T 1 ∪ T 2 ) . Vamos provar que está à distância 4 δ de f na expectativa.$\tilde f$$2k$$T_1 \cup T_2)$$4\delta$$f$

Queremos provar que Pr ˜ f ( Pr x , y ( ˜ f ( x , y ) ≠ f ( x , y ) ) ) = Pr ( f ( ˉ x , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ , onde x e y são escolhidos uniformemente aleatoriamente. Considere um vetor aleatório

$$\Pr_{\tilde f}(\Pr_{x,y}(\tilde f(x,y) \neq f(x,y))) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta,$$ $x$$y$~ X obtida a partir dex, mantendo todos os bits emT1e lançando aleatoriamente todos os bits não not1, e um vector ~ y definido de forma semelhante. Note-se que Pr( ~ f (x,y)≠f(x,y))=Pr(f( ˉ x , ˉ y )≠f(x,y))=$\tilde x$$x$$T_1$$T_1$$\tilde y$ $$\Pr(\tilde f(x,y) \neq f(x,y)) = \Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y))= \Pr(f(\tilde x, \tilde y) \neq f(x,y)).$$

Temos,

$$\Pr(f(x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \Pr(f(x,y) \neq f_1(x, y)) + \Pr(f_1(x,y) \neq f_1(\tilde x, y)) + \Pr(f_1(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, y)) \leq \delta + 0 + \delta = 2\delta.$$

Da mesma forma, Pr ( f ( ˜ x , y ) ≠ f ( ˜ x , ˜ y ) ) ≤ 2 δ . Temos Pr ( f ( ˉ x , ˉ y ) ≠ f ( x , y ) ) ≤ 4 δ $\Pr(f(\tilde x,y) \neq f(\tilde x, \tilde y)) \leq 2\delta$

$$\Pr(f(\bar x, \bar y) \neq f(x,y)) \leq 4\delta.$$ QED

É fácil "derandomizar" essa prova. Para cada ( x , y ) , vamos ~ f ( x , y ) = 1 se f ( x , y ) = 1 para a maioria ( x ' , y ' ) na classe de equivalência de ( x , y ) , e ~ f ( x , y ) = 0 , caso contrário.$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 1$$f(x,y) = 1$$(x',y')$$(x,y)$$\tilde f(x,y) = 0$

O menor c que o limite contém é c = $c$√2 -1≈2,41.$c = \frac{1}{\sqrt 2 - 1} \approx 2.41$

Os lemas 1 e 2 mostram que o limite é válido para este c . O lema 3 mostra que esse limite é rígido.$c$

(Em comparação, o elegante argumento probabilístico de Juri fornece c = 4. )$c=4$

Seja c = 1√2 -1. O lema 1 fornece o limite superior parak=0.$c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$$k=0$

Lema 1: Se f é ε g -perto uma função g que não tem variáveis que influenciam em S 2 , e f é ε h -perto uma função h que não tem influencia variáveis em S 1 , então f é ε -perto uma função constante , onde ϵ ≤ ( ϵ g + ϵ h ) /$f$$\epsilon_g$$g$$S_2$$f$$\epsilon_h$$h$$S_1$$f$$\epsilon$c .$\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$

Prova. Deixe ε ser a distância de f a uma função constante. Suponha por contradição que ϵ não satisfaça a desigualdade reivindicada. Seja y = ( x 1 , x 2 , … , x n / 2 ) e z = ( x n / 2 + 1 , … , x n ) e escreva f , g , eh como f ( $\epsilon$$f$$\epsilon$$y=(x_1,x_2,\ldots,x_{n/2})$$z=(x_{n/2}+1,\ldots,x_n)$$f$$g$$h$ , z ) , g ( y , z $f(y,z)$$g(y,z)$ e h ( y , z ) , de forma g ( y , z ) é independente de z e h ( y , z ) é independente de y .$h(y,z)$$g(y,z)$$z$$h(y,z)$$y$

(I find it helpful to visualize $f$ as the edge-labeling of the complete bipartite graph with vertex sets $\{y\}$ and $\{z\}$, where $g$ gives a vertex-labeling of $\{y\}$, and $h$ gives a vertex-labeling of $\{z\}$.)

Let $g_0$ be the fraction of pairs $(y,z)$ such that $g(y,z) = 0$. Let $g_1=1-g_0$ be the fraction of pairs such that $g(y,z) = 1$. Likewise let $h_0$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 0$, and let $h_1$ be the fraction of pairs such that $h(y,z) = 1$.

Without loss of generality, assume that, for any pair such that $g(y,z) = h(y,z)$, it also holds that $f(y,z) = g(y,z) = h(y,z)$. (Otherwise, toggling the value of $f(y,z)$ allows us to decrease both $\epsilon_g$ and $\epsilon_h$ by $1/2^n$, while decreasing the $\epsilon$ by at most $1/2^n$, so the resulting function is still a counter-example.) Say any such pair is ``in agreement''.

The distance from $f$ to $g$ plus the distance from $f$ to $h$ is the fraction of $(x,y)$ pairs that are not in agreement. That is, $\epsilon_g + \epsilon_h = g_0 h_1 + g_1 h_0$.

The distance from $f$ to the all-zero function is at most $1 - g_0 h_0$.

The distance from $f$ to the all-ones function is at most $1-g_1 h_1$.

Further, the distance from $f$ to the nearest constant function is at most $1/2$.

Thus, the ratio $\epsilon/(\epsilon_g+\epsilon_h)$ is at most

$$\frac{\min(1/2, 1-g_0 h_0, 1-g_1 h_1)}{g_0 h_1 + g_1 h_0},$$ where $g_0,h_0 \in [0,1]$ and $g_1 = 1-g_0$ and $h_1=1-h_0$.

By calculation, this ratio is at most $\frac{1}{2(\sqrt 2 - 1)} = c/2$. QED

Lemma 2 extends Lemma 1 to general $k$ by arguing pointwise, over every possible setting of the $2k$ influencing variables. Recall that $c=\frac{1}{\sqrt 2 - 1}$.

Lemma 2: Fix any $k$. If $f$ is $\epsilon_g$-near a function $g$ that has $k$ influencing variables in $S_2$, and $f$ is $\epsilon_h$-near a function $h$ that has $k$ influencing variables in $S_1$, then $f$ is $\epsilon$-near a function $\hat f$ that has at most $2k$ influencing variables, where $\epsilon \le \frac{(\epsilon_g+\epsilon_h)/2}{c}$.

Proof. Express $f$ as $f(a,y,b,z)$ where $(a,y)$ contains the variables in $S_1$ with $a$ containing those that influence $h$, while $(b,z)$ contains the variables in $S_2$ with $b$ containing those influencing $g$. So $g(a,y,b,z)$ is independent of $z$, and $h(a,y,b,z)$ is independent of $y$.

For each fixed value of $a$ and $b$, define $F_{ab}(y,z) = f(a,y,b,z)$, and define $G_{ab}$ and $H_{ab}$ similarly from $g$ and $h$ respectively. Let $\epsilon^g_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $G_{ab}$ (restricted to $(y,z)$ pairs). Likewise let $\epsilon^h_{ab}$ be the distance from $F_{ab}$ to $H_{ab}$.

By Lemma 1, there exists a constant $c_{ab}$ such that the distance (call it $\epsilon_{ab}$) from $F_{ab}$ to the constant function $c_{ab}$ is at most $(\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$. Define $\hat f(a,y,b,z) = c_{ab}$.

Clearly $\hat f$ depends only on $a$ and $b$ (and thus at most $k$ variables).

Let $\epsilon_{\hat f}$ be the average, over the $(a,b)$ pairs, of the $\epsilon_{ab}$'s, so that the distance from $f$ to $\hat f$ is $\epsilon_{\hat f}$.

Likewise, the distances from $f$ to $g$ and from $f$ to $h$ (that is, $\epsilon_g$ and $\epsilon_h)$ are the averages, over the $(a,b)$ pairs, of, respectively, $\epsilon^g_{ab}$ and $\epsilon^h_{ab}$.

Since $\epsilon_{ab} \le (\epsilon^h_{ab} + \epsilon^g_{ab})/(2c)$ for all $a, b$, it follows that $\epsilon_{\hat f} \le (\epsilon_g + \epsilon_h)/(2c)$. QED

Lemma 3 shows that the constant $c$ above is the best you can hope for (even for $k=0$ and $\epsilon=0.5$).

Lemma 3: There exists $f$ such that $f$ is $(0.5/c)$-near two functions $g$ and $h$, where $g$ has no influencing variables in $S_2$ and $h$ has no influencing variables in $S_1$, and $f$ is $0.5$-far from every constant function.

Proof. Let $y$ and $z$ be $x$ restricted to, respectively, $S_1$ and $S_2$. That is, $y=(x_1,\ldots,x_{n/2})$ and $z=(x_{n/2+1},\ldots,x_n)$.

Identify each possible $y$ with a unique element of $[N]$, where $N=2^{n/2}$. Likewise, identify each possible $z$ with a unique element of $[N]$. Thus, we think of $f$ as a function from $[N]\times[N]$ to $\{0,1\}$.

Define $f(y,z)$ to be 1 iff $\max(y,z) \ge \frac{1}{\sqrt 2}N$.

By calculation, the fraction of $f$'s values that are zero is $(\frac{1}{\sqrt 2})^2 = \frac{1}{2}$, so both constant functions have distance $\frac{1}{2}$ to $f$.

Define $g(y,z)$ to be 1 iff $y\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. Then $g$ has no influencing variables in $S_2$. The distance from $f$ to $g$ is the fraction of pairs $(y,z)$ such that $y<\frac{1}{\sqrt 2}N$ and $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$. By calculation, this is at most $\frac{1}{\sqrt 2}(1-\frac{1}{\sqrt2}) = 0.5/c$

Similarly, the distance from $f$ to $h$, where $h(y,z)=1$ iff $z\ge \frac{1}{\sqrt 2}N$, is at most $0.5/c$.

QED