A complexidade do jogo de quebra-cabeça Net

Net (conhecido também como FreeNet, ou como NetWalk) é um jogo jogado em um grade com os seguintes objetos: $n \times n$

existem computadores ; cada computador ocupa uma célula e possui um cabo de ligação; $m$
cada computador deve estar conectado à unidade central que ocupa uma célula e possui 1, 2 ou 3 cabos de ligação;
o restante da grade é preenchido com fios (não há células vazias); uma célula de arame pode ser de três tipos: linha reta, canto ou conexão em T.

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O objetivo do jogo é girar cada célula para conectar todos os computadores à unidade central sem fazer loops (ou seja, a configuração final deve ser uma árvore) e sem fios com becos sem saída (as folhas da configuração final são os computadores) .

* A complexidade deste jogo foi estudada?
* E / ou você vê uma rápida redução de um problema NP-completo semelhante conhecido?

Eric Goles e Ivan Rapaport em " Complexidade dos problemas de rotação de ladrilhos " provam que um problema semelhante é NP-completo, mas eles usam 5 ladrilhos (podemos supor que o jogo Net use 4 ladrilhos, porque podemos substituir a unidade central por um T- conector sem alterar a estrutura do jogo) e em suas provas não são proibidos.

— Marzio De Biasi
fonte

Como substituir a unidade central por um conector T quando a unidade central

$\hspace{1.4 in}$ teve 4 cabos de ligação não mudar a estrutura do jogo?

$\:$

@ RickyDemer: Eu acho que a unidade central é influente e que a "dificuldade" do jogo não muda se for restrita a 3 links e substituída por um fio T (ou mesmo um canto). No entanto, uma unidade central de 4 elos pode ser simulada usando dois conectores T adjacentes e rearrumando o nível estendendo / enchendo os fios na coluna adicionada. Vou mudar a pergunta e limitar os links da unidade central para 3. #

— Marzio De Biasi

Parece-me que você poderá reduzir o caminho Hamiltoniano planar para esse problema. Seria preciso muita construção de gadgets, no entanto.

— Peter Shor

\leq 3

$\leq 3$

Agradável! Não há pressa; aguarde até que você esteja pronto para postar uma resposta.

— 31512 Peter P. Shor

Apenas uma resposta parcial: acho que o problema é NP-completo.

$16 \times 16$ $\leq 3$

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O gadget DEVE ter as seguintes propriedades (tentarei verificá-las com um solucionador de restrições):

$A$ $B$ $C$
os dois fios de um par de interface devem ser direcionados para fora ou para dentro (caso contrário, há um fio de extremidade aberta ou um ciclo na parte interna do dispositivo);
o gadget deve ser inserido / retirado exatamente duas vezes e de exatamente dois pares de interface (as zonas verdes das três primeiras figuras mostram os percursos AC, BC, AB);
exatamente dois pares de interface devem ser direcionados para o exterior (a zona vermelha na figura mostra o que acontece se os três pares de interface forem todos direcionados para o exterior);

Os dispositivos equivalentes aos nós de grau 2 e 1 são semelhantes (e também podemos criar dispositivos de "preenchimento" para preencher os buracos do gráfico de grade original).

Agora, substituindo as duas células centrais de um dispositivo pela unidade central que envia a energia em uma direção e um terminal no outro ponto final, o jogo DEVE ter uma solução, se o gráfico original tiver um ciclo Hamiltoniano.

— Marzio De Biasi
fonte

btw isso funciona para a variante no toro?

— precisa

@SureshVenkat: a variante no toro não pode ser mais fácil, porque acho que há uma redução fácil em relação à versão normal: adicione uma borda toda feita com terminais (como a borda inferior do gadget acima); dessa maneira, os lados do toro são preenchidos com terminais que não podem transferir o sinal entre eles.

— Marzio De Biasi

Agora estou viciado em net :) - logicgamesonline.com/netwalk/?g=Expert - e encontrar a versão toroidal ser muito mais difícil :)

— Suresh Venkat

Eu gostaria de saber como os quebra-cabeças da NET no jogo programado são gerados. Eles são gerados de modo a serem solucionáveis por algum tipo de lógica? Ter soluções únicas? (Todos eles parecem ter soluções únicas.)

— Peter Shor

Isso é respondido no SO . Não é garantido que os quebra-cabeças tenham soluções únicas. Eu me pergunto quantas vezes eles não.

— Peter Shor