Resolução de programas semidefinidos em tempo polinomial

Sabemos que os programas lineares (LP) podem ser resolvidos exatamente em tempo polinomial usando o método elipsóide ou um método de ponto interior como o algoritmo de Karmarkar. Alguns LPs com número super-polinomial (exponencial) de variáveis / restrições também podem ser resolvidos em tempo polinomial, desde que possamos projetar um oráculo de separação de tempo polinomial para eles.

E os programas semidefinidos (SDP)? Quais classes de SDPs podem ser resolvidas exatamente no tempo polinomial? Quando um SDP não pode ser resolvido exatamente, sempre podemos projetar um FPTAS / PTAS para resolvê-lo? Quais são as condições técnicas sob as quais isso pode ser feito? Podemos resolver um SDP com número exponencial de variáveis / restrições em tempo polinomial, se pudermos projetar um oráculo de separação de tempo polinomial para ele?

Podemos resolver os SDPs que ocorrem em problemas de otimização combinatória (MAX-CUT, gráfico colorido) com eficiência? Se pudermos resolver apenas dentro de um fator de , isso não afetará os algoritmos de aproximação de fator constante (como 0,878 para o algoritmo MAX-CUT de Goemans-Williamson)? $1+\epsilon$

Qualquer boa referência sobre isso será muito apreciada.

linear-programming semidefinite-programming convex-optimization

— Arindam Pal
fonte

Na verdade, o método funciona para programação convexa em geral

— Suresh Venkat

Há pelo menos duas razões pelas quais você não pode resolver um SDP geral em tempo polinomial. (1) Existem SDPs cuja solução é de tamanho exponencial. (2) SDPs podem codificar o problema da soma das raízes quadradas, que não é conhecido por ser polinomial em tempo solucionável.

— precisa

ϵ

$\epsilon$

1 / ϵ

$1/\epsilon$

@SureshVenkat: Digamos que temos uma matriz 2x2 com entradas [ab; CD]. Suponha que seja semidefinido positivo ed = 1. Isso significa b = ce a> = b ^ 2. Então b é superior delimitado pela raiz quadrada de a. Agora podemos maximizar a soma de vários desses b's. O valor ótimo será a soma das raízes quadradas dos respectivos a's.

— 224126 Robin Ontário

Não é multiplicativo, mas aditivo. Além disso, en.wikipedia.org/wiki/Semidefinite_programming#Algorithms

— Suresh Venkat

O método elipsóide e os métodos de pontos interiores também podem ser estendidos para resolver os SDPs. Você pode consultar qualquer texto padrão nos SDPs para obter detalhes. Aqui está um:

Programação Semidefinida . Vandenberge e Stephen Boyd, 1996.

— Jagadish
fonte

Boa referência Jagadish.

— Arindam Pal

Boa referência também! Obrigado! Estava se perguntando ao dizer que o algoritmo de tempo polinomial resolve o SDP, os algoritmos estão resolvendo a solução ideal, exatamente ou aproximadamente?

— StackExchange for All