0-1 Programação linear: computando a formulação ideal

Considere o espaço dimensional e deixe ser uma restrição linear no formato , em que , e . $n$ $\{0,1\}^n$ $c$ $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 +\ ...\ + a_{n-1}x_{n-1} + a_nx_n \geq k$ $a_i \in \mathbb{R}$ $x_i \in \{0,1\}$ $k \in \mathbb{R}$

Claramente, tem o efeito de dividir em dois subconjuntos e . contém todos e apenas os pontos que satisfazem , enquanto contém todos e apenas os pontos que falsificam . $c$ $\{0,1\}^n$ $S_c$ $S_{\lnot c}$ $S_c$ $c$ $S_{\lnot c}$ $c$

Suponha que $|S_c| \geq n$ . Agora, seja $O$ um subconjunto de $S_c$ modo que todas as três instruções a seguir sejam :

$O$ contém exatamente $n$ pontos.
Tais $n$ pontos são linearmente independentes.
Tais $n$ pontos são aqueles à distância mínima do hiperplano representado por $c$ . Mais precisamente, seja $d( x, c )$ a distância de um ponto $x \in \{0,1\}^n$ do hiperplano $c$ . Então, $\forall B \subseteq S_c$ modo que $B$ satisfaça 1 e 2, é o caso $\sum_{x \in B} d(x, c) \geq \sum_{x \in O} d(x, c)$ . Em outras palavras, $O$ é, dentre todos os subconjuntos de $S_c$ atendem às condições 1 e 2, aquele que minimiza a soma das distâncias de seus pontos do hiperplano $c$ .

Questões

Dado $c$ , é possível calcular $O$ eficiência?

Qual é o algoritmo mais conhecido para computá-lo?

$\$

Exemplo com $n = 3$

Exemplo com n = 3

$S_{\lnot c} = \{ ( 1, 0, 1 ) \}$ , $O = \{ ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, 1 ), ( 1, 0, 0 ) \}$ .

$\$

Atualização 05/12/2012

Motivação

A motivação é que o uso de $O$ deverá ser possível para determinar o óptimo de restrição $c^*$ , como deve ser o hiperplana definido pelos $n$ pontos em $O$ .

A restrição ideal $c^*$ é aquela que leva ao polítopo ótimo $P^*$ .

O polítopo ideal é aquele cujos vértices são todos e apenas os vértices inteiros do polítopo inicial (um vértice inteiro é um vértice cujas coordenadas são todas inteiras). $P^*$ $P$

Formulação ideal

O processo pode ser iterado para cada restrição de uma instância 0-1 , substituindo sempre com sua restrição ideal correspondente . No final, isto levará à óptima poliepítopo de . Então, como os vértices de são todos e somente os vértices inteiros do polítopo inicial de , qualquer algoritmo para pode ser usado para calcular a solução inteira ideal. Eu sei que ser capaz de calcular eficiência implicaria , no entanto, a seguinte pergunta adicional ainda permanece: $c$ $LP$ $I$ $c$ $c^*$ $P^*$ $I$ $P^*$ $P$ $I$ $LP$ $P^*$ $P = NP$

Pergunta adicional

Existe algum trabalho anterior nesse sentido? Alguém já investigou a tarefa da computação, dado um polítopo , seu correspondente polítopo ótimo ? Qual é o algoritmo mais conhecido para fazer isso? $P$ $P^*$

— Giorgio Camerani
fonte

Isso parece ser NP-difícil de fazer exatamente, pela redução da soma do subconjunto. Dados inteiros binários , para testar se existe um subconjunto somando , podemos testar se há um ponto no hiperplano . Você está interessado em aproximações?

v_{1}, \dots, v_{n}

$v_1,\dots,v_n$

s

$s$

v_{1} x_{1} + \dots + v_{1} x_{n} = s

$v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Colin McQuillan

@ColinMcQuillan: A pergunta foi feita para uma solução exata, no entanto, certamente estou interessado também em aproximações. Por que você não transforma seu comentário em resposta?

— Giorgio Camerani 04/12/12

@ColinMcQuillan: Além disso, seu hiperplano é definido usando uma igualdade, enquanto o meu é definido usando uma desigualdade. Tem certeza de que isso não faz diferença em termos de dureza? Ainda não chequei, então só estou perguntando.

— Giorgio Camerani

Estou um pouco confuso sobre todas as restrições . Se você está procurando informações sobre o casco convexo de , há muitos resultados na literatura de pesquisa de operações sobre o polítopo da mochila 0-1. Em termos de formulações aproximadas, veja isso .

O

$O$

S_{c}

$S_c$

— Austin Buchanan

Respostas:

Parece ser NP-difícil de fazer exatamente, pela redução da soma do subconjunto. Suponhamos que temos um procedimento eficiente para computação . Dados inteiros positivos codificados em binário, desejamos testar se existe um subconjunto somando . Pré-processe jogando fora números inteiros maiores que . $O$ $v_1,\dots,v_n$ $s$ $s$

Chame o procedimento para obter um pequeno conjunto de pontos que satisfaçam , satisfazendo suas condições de minimalidade (o pré-processamento garante ). Esse conjunto certamente conterá um ponto no hiperplano se houver um. $O$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n\leq s$ $|S_c|\geq n$ $v_1x_1+\dots+v_1x_n= s$

— Colin McQuillan
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Talvez eu esteja ignorando algo macroscópico aqui, mas tenho 2 perguntas: 1) Quando você diz "Dados inteiros binários ", o que você quer dizer com binário ? pertence a . Talvez você queira dizer codificado em binário? Ou talvez você quisesse dizer positivo? 2) Por que jogar fora todos os números inteiros maiores que ? Eles podem contribuir para a solução. Por exemplo: se você jogar fora

perderá a única solução

v_{1}, . . ., v_{n}

$v_1, ..., v_n$

R

$\mathbb{R}$

s

$s$

v_{1} = - 3, v_{2} = 7, v_{3} = - 5, s = 2

$v_1 = -3, v_2 = 7, v_3 = -5, s = 2$

v_{2}

$v_2$

{v_{2}, v_{3}}

$\{v_2, v_3\}$

— Giorgio Camerani

Penso que o que Colin quer dizer é que, se os coeficientes de restrição são números racionais, em sua representação binária usual, então seu problema parece difícil para o NP. (Misturar números reais e NP-difícil é sempre complicado.)

a_{i}

$a_i$

— Jeffε

@GiorgioCamerani: Eu precisava dizer positivo - atualizei minha resposta.

— Colin McQuillan

Parece-me que você está tentando chegar ao casco convexo do IP - em essência, é isso que os algoritmos de corte tentam alcançar. Embora existam apelações apelativas, esses métodos se dão mal na prática.

Existe toda a teoria sobre a geração de desigualdades válidas. Um bom ponto de partida seria a teoria dos livros de shrijver da programação inteira.

— AJ Student
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