Dureza NP de um problema de otimização

Enquanto estudava um problema na teoria algorítmica dos jogos, fiquei interessado na complexidade da seguinte pergunta de otimização:

Problema

Dado:

conjunto de base dado por , $U = [n] = \{1,\ldots,n\}$ $n$
classificação dada como ordens totais onde ( ), $m$ $\langle S_i, \sigma_i \rangle$ $S_i \subseteq U$ $1 \leq i \leq m$
vetor de peso para dado por . $U$ $w \in \mathbb{R}^n$

Meta: encontrar um subconjunto maximizar a seguinte soma: , onde é o mais alto ponto classificados em acordo com . $L \subseteq U$

r (L) = \sum_{i \in [m], S_{i} \cap L \neq \emptyset} w (t_{i} (L))

$r(L) = \sum_{i \in [m],\ S_i \cap L \neq \emptyset} w(t_i(L))$

t_{i} (L)

$t_i(L)$

L \cap S_{i}

$L\cap S_i$

σ_{i}

$\sigma_i$

I suspeitar que o problema é -Hard. Na verdade o problema parece ser difícil mesmo quando todos o 's são de tamanho . No entanto, não fui capaz de provar isso. $\mathsf{NP}$ $S_i$ $2$

O que eu sei

É fácil ver que as seguintes restrições facilitam o problema:

todos os pesos são uniformes: a seleção de todos os elementos é claramente ideal.
todas as classificações são classificações completas sobre : a melhor solução é obtida pegando o elemento com o peso máximo. $U$
os pesos são apenas binários ( ), então a seleção de todos os elementos é ideal. $w \in \{0,1\}^n$ $1$

$\mathsf{NP}$ $L$ $\mathsf{NP}$ $r(L) \geq k$

Um IP correspondente pode ser construído silenciosamente facilmente para uma determinada instância do problema, mas não vejo nenhuma semelhança suficiente com nenhum problema que eu conheça.

Questão

$\mathsf{NP}$

— JoelO
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Acho que sua solução está correta e, se você usar um truque semelhante para as cláusulas, poderá até restringir cada Si a 2 elementos.

— Domotorp #

Bem, aqui está uma solução possível:

A redução será da 3SAT.

$m$ $(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)$ $n$ $(x_1,\ldots,x_n)$

$x_i, \overline x_i$ $True$ $x_i$ $t$ $\{x_i,\overline x_i\}_{i=1,…,n}$ $1$ $t$ $1.5$

Crie dois conjuntos de consumidores:

$x_1,\ldots,x_n$ $\{x_i,\overline x_i\}$ $True$ $i=1,\ldots,n$

$\sigma_{i1}: x_i\succ t\\ \sigma_{i2}: \overline x_i \succ t \\ \sigma_{i3}: x_i \succ \overline x_i \\ \sigma_{i4}: x_i \succ \overline x_i$

$t$ $x_i$ $\overline x_i$ $4$ $3$ $4.5$

$\varphi_j=\ell_{j1} \vee \ell_{i2} \vee \ell_{j3}$ $\sigma_j: \ell_{j1} > \ell_{j2} > \ell_{j3}$ $\varphi_j$ $\ell_{j1}, \ell_{j2}$ $\ell_{j3}$ $1$ $\sigma_j$

$m+4.5n$

— JoelO
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