Equilíbrio de fórmula booleana em

Estou procurando referências sobre a complexidade do problema de balanceamento de fórmulas booleanas . Em particular,

1. Sabia-se que as fórmulas booleanas podem ser balanceadas em $\mathsf{AC^0}$ ?
2. Existe uma prova simples de que o balanceamento de fórmula booleana esteja em $\mathsf{AC^0}$ ?

Por "simples", quero dizer uma prova mais simples do que a mencionada abaixo, em particular estou procurando uma prova que não dependa da avaliação da fórmula booleana em $\mathsf{NC^1}$ .

fundo

Aqui todas as classes de complexidade mencionadas são as uniformes.

BFB (Balanceamento de fórmula booleana):
Dada uma fórmula booleana $\varphi$ ,
encontre uma fórmula booleana equilibrada equivalente.

Estou interessado na complexidade desse problema, em particular provas simples mostrando que o problema está em $\mathsf{AC^0}$ (ou mesmo $\mathsf{TC^0}$ ou $\mathsf{NC^1}$ ). Os argumentos comuns de balanceamento, como os baseados no lema de Spira, aplicam repetidas modificações estruturais na árvore de fórmulas, que parecem fornecer apenas $BFB \in \mathsf{NC^2}$ .

Eu tenho uma prova para $BFB \in \mathsf{AC^0}$ , no entanto, a prova não é simples e depende da prova de $BFE \in \mathsf{NC^1}$ .

BFE (Boolean fórmula de avaliação)
Dada uma fórmula booleana e uma atribuição verdade τ para as variáveis em φ , Does τ satisfazer φ ( τ ⊨ φ )?$\varphi$$\tau$$\varphi$
$\tau$$\varphi$$\tau \vDash \varphi$

É sabido pelo célebre resultado de Sam Buss que a avaliação da fórmula booleana ( ) pode ser calculada em N C 1 = A L o g T i m e (ver [Buss87] e [BCGR92] ).$BFE$$\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

Segue-se (surpreendentemente, pelo menos para mim) que o balanceamento de fórmulas booleanas ( ) também está em N C 1 :$BFB$$\mathsf{NC^1}$

A idéia é que podemos codificar nas portas de entrada de B F E para obter uma fórmula equivalente a φ e essa é uma operação completamente sintática, computável em A C 0 . Como B F E possui fórmulas balanceadas, obtemos uma fórmula balanceada equivalente para φ . Em outras palavras, o algoritmo é:$\varphi$$BFE$$\varphi$$\mathsf{AC^0}$$BFE$$\varphi$

Motivação

Um argumento mais simples para o estar em (ou ou mesmo ) forneceria uma nova prova mais simples de pois é fácil ver que a versão balanceada do BFE pode ser resolvida em e podemos compor com e o resultado será em .A C 0 T C 0 N C 1 B F E ∈ N C 1 N C 1 B F B N C $BFB$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{NC^1}$$BFE \in \mathsf{NC^1}$$\mathsf{NC^1}$$BFB$$\mathsf{NC^1}$

Questões

1. Sabia-se que as fórmulas booleanas podem ser balanceadas em ( )? B F B ∈ A C $\mathsf{AC^0}$$BFB\in \mathsf{AC^1}$
2. Existe um argumento mais simples (por exemplo, não depender de ) para ? B F B ∈ A C $BFE\in \mathsf{NC^1}$$BFB\in\mathsf{AC^0}$

Não tenho certeza se isso é muito relevante, mas em Algoritmos de espaço de log para caminhos e combinações em k-Trees (com base em uma longa história de trabalhos anteriores e especificamente em aulas de aritmetização em torno de NC1 e L por Limaye-Mahajan-Rao), mostramos como encontrar separadores balanceados recursivos para uma árvore no espaço de log. Esse limite pode muito bem ser improvável para se a árvore de entrada for fornecida diretamente na representação de string.$\mathsf{NC}^1$

A idéia básica é representar a árvore como uma expressão entre parênteses e encontrar separadores balanceados para elas. Observe que encontramos separadores de folhas, ou seja, subárvores com número equilibrado de folhas.