Amostragem a partir da célula Voronoi de um ponto

Corrija um conjunto de pontos . Agora chega um ponto de consulta , e o objetivo é produzir um ponto amostrado uniformemente aleatoriamente a partir da célula Voronoi de no conjunto . $n$ $P \subset \mathbb{R}^d$ $q$ $r$ $q$ $P \cup \{q\}$

Para os propósitos desta pergunta, você pode assumir que a célula Voronoi de está sempre limitada (por exemplo, sempre fica no casco convexo de ). $q$ $q$ $P$

Existe algo conhecido sobre esse problema?

Algumas restrições:

Talvez eu queira mais de uma amostra da célula Voronoi de . Estes devem ser IID. $q$
Estou autorizado a pré-processar os pontos, mas não posso gastar tempo exponencial em . $d$
A amostra deve ser gerada no tempo sublinear em polinômio em idealmente. $n$ $d$

Observe que o exposto acima exclui o cálculo explícito da célula Voronoi. Observe também que, embora uma abordagem de amostragem por rejeição produza uma amostra uniforme, não está claro como fazê-lo com eficiência.

cg.comp-geom randomized-algorithms voronoi

— Suresh Venkat
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Existe alguma razão para não funcionar imediatamente para usar as técnicas usuais de caminhada aleatória de estimativa de volume para gerar amostras aleatórias uniformemente dentro de corpos convexos em tempo polinomial?

— David Eppstein

Eu deveria ter esclarecido. Deve ser possível usá-los, pois o oracle de associação pode ser calculado, mas o tempo de execução para gerar uma amostra é bastante caro (pelo menos é tempo linear, porque você descreve a célula de voronoi em termos das restrições de n meio plano). Daí a condição sublinear.

— Suresh Venkat

Ah, eu perdi a parte sublinear.

— precisa saber é o seguinte

você pode realizar qualquer polítopo como uma célula Voronoi. portanto, você precisará no mínimo pré-processar um polítopo para poder extrair amostras uniformes do IID mais rapidamente do que fazer a caminhada aleatória completa a cada vez. isso parece difícil o suficiente?

— Sasho Nikolov

Muito curto para um comentário ... A seguir, é intuitivo bla bla e fique à vontade para não comprá-lo.

Isso parece extremamente improvável - assumindo que os pontos sejam distribuídos uniformemente, o número de vizinhos da célula de será $q$ $2^d$ . Aqui está talvez um argumento mais formal. Escolha um conjunto de pontos na unidade hiperesfera, de modo que o ângulo entre dois pontos seja pelo menos, não sei, 80 graus. Sabemos que é possível escolher um número exponencial de tais pontos na esfera sem muito esforço se a dimensão for suficientemente grande. Agora, intuitivamente, para qualquer subconjunto de metade dos pontos, a célula Voronoi do centro da esfera deve ter quase o dobro do volume quando comparada ao volume da célula com todos os pontos. Isso implica inituitivamente que você deve inspecionar todos os pontos para obter uma boa estimativa de volume. O que parece implicar, mais uma vez intuitivamente, que a amostragem uniforme será impossível, uma vez que os problemas parecem ser polinomialmente equivalentes ...

— Sariel Har-Peled
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Esse é um argumento interessante. No entanto, esse argumento não sugere que você não pode estimar o volume de um corpo convexo definido por semiplanos, o que sabemos que podemos fazer?

— Suresh Venkat

Não é verdade - se você pode ler toda a entrada, em seguida, este argumento falha ....

— Sariel Har-Peled

Bem, estou autorizado a pré-processar a entrada da maneira que achar melhor.

— Suresh Venkat