Consequências de contendo

Muitos acreditam que . No entanto, sabemos apenas que está no segundo nível da hierarquia polinomial, ou seja, . Um passo para mostrar é primeiro reduzi-lo ao primeiro nível da hierarquia polinomial, ou seja, .$\mathsf{BPP} = \mathsf{P} \subseteq \mathsf{NP}$$\mathsf{BPP}$$\mathsf{BPP}\subseteq \Sigma^ \mathsf{P}_2 \cap \Pi^ \mathsf{P}_2$$\mathsf{BPP} = \mathsf{P}$$\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP}$

A contenção significaria que o não determinismo é pelo menos tão poderoso quanto a aleatoriedade para o tempo polinomial.

Isso também significa que se, para um problema, podemos encontrar as respostas usando algoritmos aleatórios eficientes (tempo polinomial), podemos verificar as respostas com eficiência (em tempo polinomial).

Existem consequências interessantes conhecidas para ?$\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP}$

Existem razões para acreditar que provar está fora de alcance agora (por exemplo, barreiras ou outros argumentos)?$\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP}$

Por um lado, provar implicaria facilmente que N E X P ≠ B P P , o que já significa que sua prova não pode ser relativizada.$BPP \subseteq NP$$NEXP \neq BPP$

Olhar, mas vamos em algo ainda mais fraco: . Se isso for verdade, o teste de identidade polinomial para circuitos aritméticos ocorre em tempo subexponencial não determinístico. Por Impagliazzo-Kabanets'04 , esse algoritmo implica limites inferiores do circuito: ou o Permanente não possui circuitos aritméticos de tamanho médio, ou N E X P ⊄ P / p o l y .$coRP \subseteq NTIME[2^{n^{o(1)}}]$$NEXP \not\subset P/poly$

Pessoalmente, não sei por que parece "fora de alcance", mas parece difícil de provar. Certamente, alguns truques genuinamente novos serão necessários para provar isso.