Combinadores para as funções recursivas primitivas

É sabido que os combinadores S e K são Turing Complete. Existem combinadores que são suficientes para produzir (apenas) as funções recursivas primitivas?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
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É isso que você está perguntando? mathoverflow.net/questions/48006/...

— Andrej Bauer

Sim, mas você deve considerar os combinadores digitados. Ou seja, você precisa fornecer a e os seguintes esquemas de tipo: que e são meta-variáveis que podem ser instanciadas em qualquer tipo concreto a cada uso. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Então, você quer adicionar o tipo de números naturais para a linguagem de tipos, e adicione as seguintes combinadores: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ s u c c & : & N \to N \\ i t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

As regras de igualdade para as adições são:

\begin{array}{lcl} i t e r i f z & = & i \\ i t e r i f (s u c c e) & = & f (i t e r i f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} i t e r & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ k . i t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (s u c c n, n)) k \\ p r e d & = & λ k . s n d (p r e d^{'} k) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
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Portanto, isso é menor que Turing-completo em virtude da restrição aos combinadores digitados? As variáveis de tipo (recursivamente) podem denotar funções sobre variáveis de tipo (por exemplo, A = D -> E para alguns tipos D e E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Neel, obrigado. Eu estaria certo ao pensar que é possível representar z, succ e iter em termos de S e K através da codificação numérica da Igreja?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@ Xoff: a função predecessora possui uma definição de tempo linear bem conhecida em termos de iter. Este poderia ser o objeto de uma pergunta sobre cs.stackexchange.com ...

— Cody