Jogos de Ehrenfeucht-Fraïssé (de fato, Ajtai-Fagin) para idiomas regulares.


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Immerman (Complexidade descritiva, 1999) apresenta os jogos EF para segunda ordem monádica existencial (jogos Ajtai-Fagin) na página 127. Como MSO nas palavras é equivalente a idiomas regulares, o jogo pode ser escrito da seguinte forma.

Um idioma é regular se, e somente se Delilah, não tiver uma estratégia vencedora no jogo seguinte: 1. Samson escolhe , 2. Delilah escolhe , 3. Samson escolhe subconjuntos do conjunto de posições em (ou seja, ), 4. Delilah chosses subconjuntos e do conjunto de posições em , 5. Samson e Delilah jogam o jogo -turn EF em c , m N w L c C w 1 , , C w c w { 0 , , | w | - 1 } v L c C v 1 , , C v c v m ( S ( w ) , C wL{a,b}
c,mN
wL
cC1w,,Ccww{0,,|w|1}
vLcC1v,,Ccvv
m(S(w),C1w,,Ccw) e , em que é a estrutura associada à palavra , ou seja: com e é o predicado sucessor binário.S ( w ) w S ( w ) = { 0 , , | w | - 1 } , S U C C , Q um , Q bQ L = { p(S(v),C1v,,Ccv)
S(w)w

S(w)={0,,|w|1},SUCC,Qa,Qb
S U C CQl={p|wp=l}SUCC

Eu tenho duas perguntas:
- Como alguém mostra que não é regular, usando um argumento EF como este: - É mais fácil / mais difícil jogar esses jogos (mostrar não regularidade) quando se tem uma ordem em vez da relação sucessora? (Esses são equivalentes no MSO existencial).{anbn|nN}

Respostas:


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Daremos uma estratégia vencedora para Dalila. Deixe Sansão escolher seu e . Então Dalila escolhe para que um grande seja determinado posteriormente. Deixe Sansão escolher seus subconjuntos que vemos como uma coloração das posições de com cores. Vamos denotar esta palavra colorida. O objetivo do Delilah neste momento é encontrar um segmento of com as seguintes propriedades para que um e um sejam escolhidos posteriormente:m w = a n b n n C w 1 , , C w c w 2 c w w [ i , , j ] w r tcmw=anbnnC1w,,Ccww2cww[i,,j]wrt

  1. w 0ijn (portanto, o segmento pertence à primeira parte de ),w
  2. os bairros (bairros do raio ) de e em são isomórficos,r i j w 'rrijw
  3. para cada , o bairro de em aparece como bairro de pelo menos outras posições de .k[i,,j]rkwrtw

Se ela conseguir fazer isso, ela escolherá sua palavra colorida como Se é a palavra subjacente a , segue-se que não pertence a (porque bombeamos um segmento não vazio de ) e Delilah tem uma estratégia vencedora no - ative o jogo EF em e (isto segue no Teorema de Hanf, se e forem suficientemente grandes em relação a e

v=w[0,,i1]w[i,,j]2w[j+1,,2n1].
va,bvvLamwvrtcm; veja o Teorema 1.4.1 no livro de Ebinghaus e Flum "Teoria dos Modelos Finitos").

Assim, mantém-se para mostrar que, se é suficientemente grande em relação ao , , e , podemos encontrar um segmento como acima. Mas isso decorre de um argumento padrão no pombo, usando o fato de que o número de tipos de ismorfismo de vizinhanças- é finito.c m r tncmrtrw[i,,j]r

Isso funcionou para estruturas sucessoras. Com uma ordem linear, será um pouco mais difícil, mas não pensei muito nisso.

Observe que, não surpreendentemente, esse argumento se parece um pouco com o argumento de "bombeamento" nos autômatos. No entanto, não é tão tolo quanto apenas traduzir a fórmula para um autômato. Eu acho que isso conta como um argumento teórico-modelo.


Minha resposta não o convence?
slimton

Opa, desculpe, é claro que sim. Embora eu estivesse realmente interessado em ver o que seria isso com uma ordem linear (e, portanto, sem a localidade de Hanf). Obrigado por essa resposta!
Michaël Cadilhac
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