Jogos de Ehrenfeucht-Fraïssé (de fato, Ajtai-Fagin) para idiomas regulares.

Immerman (Complexidade descritiva, 1999) apresenta os jogos EF para segunda ordem monádica existencial (jogos Ajtai-Fagin) na página 127. Como MSO nas palavras é equivalente a idiomas regulares, o jogo pode ser escrito da seguinte forma. $\exists$

Um idioma é regular se, e somente se Delilah, não tiver uma estratégia vencedora no jogo seguinte: 1. Samson escolhe , 2. Delilah escolhe , 3. Samson escolhe subconjuntos do conjunto de posições em (ou seja, ), 4. Delilah chosses subconjuntos e do conjunto de posições em , 5. Samson e Delilah jogam o jogo -turn EF em $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$
$v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ e , em que é a estrutura associada à palavra , ou seja: com e é o predicado sucessor binário. $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

Eu tenho duas perguntas:
- Como alguém mostra que não é regular, usando um argumento EF como este: - É mais fácil / mais difícil jogar esses jogos (mostrar não regularidade) quando se tem uma ordem em vez da relação sucessora? (Esses são equivalentes no MSO existencial). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
fonte

Daremos uma estratégia vencedora para Dalila. Deixe Sansão escolher seu e . Então Dalila escolhe para que um grande seja determinado posteriormente. Deixe Sansão escolher seus subconjuntos que vemos como uma coloração das posições de com cores. Vamos denotar esta palavra colorida. O objetivo do Delilah neste momento é encontrar um segmento of com as seguintes propriedades para que um e um sejam escolhidos posteriormente: $c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

$0 \leq i \leq j \leq n$ (portanto, o segmento pertence à primeira parte de ), $w'$
os bairros (bairros do raio ) de e em são isomórficos, $r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
para cada , o bairro de em aparece como bairro de pelo menos outras posições de . $k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

Se ela conseguir fazer isso, ela escolherá sua palavra colorida como Se é a palavra subjacente a , segue-se que não pertence a (porque bombeamos um segmento não vazio de ) e Delilah tem uma estratégia vencedora no - ative o jogo EF em e (isto segue no Teorema de Hanf, se e forem suficientemente grandes em relação a e

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$ ; veja o Teorema 1.4.1 no livro de Ebinghaus e Flum "Teoria dos Modelos Finitos").

Assim, mantém-se para mostrar que, se é suficientemente grande em relação ao , , e , podemos encontrar um segmento como acima. Mas isso decorre de um argumento padrão no pombo, usando o fato de que o número de tipos de ismorfismo de vizinhanças- é finito. $n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Isso funcionou para estruturas sucessoras. Com uma ordem linear, será um pouco mais difícil, mas não pensei muito nisso.

Observe que, não surpreendentemente, esse argumento se parece um pouco com o argumento de "bombeamento" nos autômatos. No entanto, não é tão tolo quanto apenas traduzir a fórmula para um autômato. Eu acho que isso conta como um argumento teórico-modelo.

— Slimton
fonte

Minha resposta não o convence?

— slimton

Opa, desculpe, é claro que sim. Embora eu estivesse realmente interessado em ver o que seria isso com uma ordem linear (e, portanto, sem a localidade de Hanf). Obrigado por essa resposta!

— Michaël Cadilhac