Qual é a definição correta de

Como o título diz, qual é a definição correta de -tree? Existem vários artigos que falam sobre árvores- e árvores- parciais como definições alternativas para gráficos com largura de árvore limitada, e eu já vi muitas definições aparentemente incorretas. Por exemplo, pelo menos um local define árvores da seguinte maneira:k k $k$$k$$k$$k$

Um gráfico é chamado de -tree se e somente se é o gráfico completo com vértices ou possui um vértice com grau modo que seja um -tree. Uma árvore parcial é qualquer subgrafo de uma árvore .G k G v k - 1 G ∖ v k k $k$$G$$k$$G$$v$$k − 1$$G \setminus v$$k$$k$$k$

De acordo com esta definição, pode-se criar o seguinte gráfico:

1. Comece com uma aresta , uma 2 .$(v_1, v_2)$$2$
2. Para , criar um vértice v i e torná-lo ao lado de v i - 1 e v i - 2 .$i=1\ldots n$$v_i$$v_{i-1}$$v_{i-2}$

Fazer isso criaria uma faixa de quadrados com diagonais. Da mesma forma, podemos começar a criar uma banda a partir do primeiro quadrado em uma direção ortogonal à faixa acima. Então, teríamos a primeira linha e primeira coluna de um n × n grid. É fácil preencher a grade criando vértices e unindo-os aos vértices acima e à esquerda.$n$$n \times n$

O resultado final é um gráfico que contém uma grade, o que, com efeito, é conhecido por ser de treewidth n .$n\times n$$n$

Uma definição correta de árvores deve ser a seguinte:$k$

Um gráfico é chamado de -tree se e somente se G for um gráfico completo com k vértices ou G tiver um vértice v com grau k - 1, de modo que o vizinho de v forme uma k -clique, e G v seja um k- árvore.$k$$G$$k$$G$$v$$k-1$$v$$k$$G \ v$$k$

Então, o gráfico em forma de grade descrito acima não pode ser criado.

Estou correcto?

Eu basicamente concordo com você, com apenas uma pequena modificação:

Um gráfico $G$ é uma árvore- $k$ se, e somente se, $G$ for um gráfico completo com $k+1$ vértices, ou $G$ tiver um vértice $v$ modo que a vizinhança (aberta) de $v$ forme uma $k$ -clique, e $G - v$ seja uma árvore $k$ .

Em outras palavras, $v$ deve ter o grau $k$ , em vez de $k-1$ em sua definição.

Pessoalmente, prefiro a definição de baixo para cima, mas isso é apenas uma questão de gosto:

• O gráfico completo dos vértices $k+1$ é uma árvore $k$ .
• Um $k$ -trees $G$ com $n+1$ vértices ( $n\ge k+1$ ) pode ser construído a partir de um $k$ -trees $H$ com $n$ vértices adicionando um vértice adjacente a exatamente $k$ vértices que formam um $k$ -clique em $H$ .
• Nenhum outro gráfico é $k$ árvores.

Esta definição é uma versão ligeiramente modificada da definição das notas de aula de Pinar Heggernes .