Problemas NP-difíceis em gráficos de expansão?

Em uma apresentação de 2006 intitulada GRÁFICOS DE EXPANSOR - EXISTEM MISTÉRIOS DEIXADOS? , Nati Linial colocou o seguinte problema em aberto:

Que -Hard problema computacional no gráfico permanecem difícil quando restrita aos gráficos de expansão? $NP$

Desde então, tem algum progresso foi feito para provar esse resultado para um problema -Hard? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— Mohammad Al-Turkistany
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Alguém poderia talvez explicar por que essa pergunta é interessante? Temos alguns exemplos de problemas difíceis de NP que se tornam fáceis quando restritos a gráficos de expansão?

— Jukka Suomela

@Jukka: Os expansores podem ser

regulares para

pequeno (por exemplo,

), mas alguns problemas difíceis de NP são fáceis na classe de gráficos

grau máximo para

pequeno (por exemplo, GRAPH COLORING para

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$

d

$d$

d < 4

$d<4$

— András Salamon

@ András: Claro, mas isso não está realmente relacionado às propriedades de expansão. Deixe-me reformular: temos exemplos de problemas difíceis nos gráficos

regulares, mas fáceis nos gráficos expansores

regulares?

d

$d$

d

$d$

— Jukka Suomela

@Jukka: Foi mostrado que jogos únicos possuem algoritmos de aproximação de tempo polinomial quando o gráfico de restrição é um expansor [STOC '08 de Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi). Isso não é conhecido por gráficos gerais, e se o UGC fosse verdadeiro, na verdade não há algoritmos de tempo polinomial. Tomei isso como motivação para a pergunta do Turquistão.

— Arnab

@Jukka, minha motivação é entender a relação entre propriedades aleatórias de expansores e dureza computacional de problemas. Por exemplo, não espero que o conjunto independente seja fácil para os expansores.

— Mohammad Al-Turkistany

Respostas:

Se "expansores desequilibradas" contam como expansores para o propósito desta questão (um expansor desequilibrada: um bipartido gráfico , de tal modo que para cada sub-grupos , , a fracção de arestas entre e é de cerca de $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), sim, muitos problemas nos expansores (por exemplo, problemas de satisfação com restrições) são difíceis de aproximar.

Em particular, a prova do Teorema PCP de duas consultas e baixo erro constrói gráficos de expansão.

— Dana Moshkovitz
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Em sua última linha, você quer dizer que o seu papel constrói expansores desequilibradas, porque então você pode ter uma resposta para esta pergunta: cstheory.stackexchange.com/questions/592/...

— Suresh Venkat

Suresh: sim, o papel constrói expansores / amostradores / extratores desbalanceados, mas não melhor do que as construções conhecidas de tais.

— Dana Moshkovitz 04/10/10

Estou supondo que pode ser fácil mostrar que muitos problemas exatos (e talvez fortes problemas de aproximação também) são difíceis de usar nos expansores. A idéia é que, se você pegar um gráfico arbitrário de graus constantes em vértices e adicionar outro expansor em vértices separados, e colocar uma correspondência entre e , obterá um expansor. A razão é que qualquer conjunto com menos da metade dos vértices terá uma fração constante das arestas correspondentes fora dele ou sua interseção com terá, no máximo, fração dos vértices de $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

Como você pode escolher arbitrariamente (digamos, pegar um gráfico aleatório), você pode conhecer a solução ideal para o seu problema NP em e, portanto, pode haver esperança (dependendo do problema), que, dada uma solução para o gráfico combinado, você pode obter pelo menos uma solução aproximada para . Mas não verifiquei isso por nenhum problema concreto. $H$ $H$ $G$

Obviamente, como mencionado acima, existem problemas naturais (principalmente jogos únicos) em que não se pode fazer esses truques e, em particular, algoritmos são conhecidos por expansores e não são conhecidos no caso geral. Também é possível encontrar um exemplo artificial de um problema que é difícil de NP em geral, mas fácil em expansores (por exemplo, pegue alguns problemas difíceis arbitrários de NP em gráficos e modifique-o para que todas as instâncias com intervalo espectral sejam maiores que são SIM ...). $1/\log n$

— Boaz Barak
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