Quantos cortes de borda disjuntos um DAG deve ter?

A questão a seguir está relacionada à otimização do algoritmo de programação dinâmica de caminho mais curto de Bellman-Ford - (consulte esta publicação para obter uma conexão). Além disso, uma resposta positiva implicaria que o tamanho mínimo de um programa de ramificação não determinístico monótono para o problema STCONN é . $s$$t$$\Theta(n^3)$

Deixe ser um DAG (dirigido gráfico acíclico) com um nó de origem e um nó de destino . Uma - corte é um conjunto de arestas, cuja remoção destrói todos - caminhos de comprimento ; supomos que existem tais caminhos em . Observe que caminhos - curtos não precisam ser destruídos.s t $G$$s$$t$$k$t ≥ k G s $s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Pergunta: Does deve ter pelo menos (cerca de) disjuntos -cuts? $G$$k$ $k$

Se não houver caminhos - menores que , a resposta é SIM, porque temos o seguinte fato min-max (um duplo no teorema de Menger ) atribuído a Robacker . Um corte - é um corte para (destrói todos os caminhos - ).t $s$$t$$k$^$\ast$t k k = $s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

Fato: Em qualquer gráfico direcionado, o número máximo de cortes - separados pela borda é igual ao comprimento mínimo de um caminho - . $s$$t$$s$$t$

Observe que isso é válido mesmo que o gráfico não seja acíclico.

Prova: trivialmente, o mínimo é pelo menos o máximo, pois cada caminho - cruza cada corte - em uma aresta. Para ver a igualdade, seja o comprimento de um caminho mais curto de a . Seja , para , e deixe ser o conjunto de arestas que deixam . É claro que os conjuntos são disjuntos, porque os conjuntos são tais. Portanto, resta mostrar que cada é um -t s t d ( u ) s u U r = { u : d ( u ) = r } r = 1 , … , d ( t ) E r U r E r U r E r s t s t p = ( u 1 , u 2 , … , u m$s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$$U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$cortar. Para mostrar isto, levar um arbitrário - caminho com e . Como , a sequência de distâncias deve atingir o valor iniciando em e aumentando o valor em no máximo em cada etapa. Se algum valor for diminuído, devemos atingir o valor posteriormente. Portanto, deve haver um onde um salto de para acontece, significando a aresta$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$u m = t d ( u i + 1 ) ≤ d ( u i ) + 1 d ( u 1 ) , … , d ( u m ) d ( u m ) = d ( t ) d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 1 d $u_1=s$$u_m=t$$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$d ( u i ) j d ( u j ) = r d ( u j + 1 ) = r + 1 ( u j , u j + 1$d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$ pertence a , conforme desejado. QED $E_r$

Mas e se também houver caminhos mais curtos (que )? Alguma dica / referência? $k$

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$^{\ast}$ JT Robacker, Teoremas Mín. Máx. das Correntes Mais Curtas e Cortes Separados de uma Rede, Memorando de Pesquisa RM-1660, The RAND Corporation, Santa Monica, Califórnia, [12 de janeiro] de 1956.

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EDIT (um dia depois): Através de um argumento curto e muito agradável, David Eppstein respondeu à pergunta original acima em negativo : o DAG completo (um torneio transitivo ) não pode ter mais do que quatro -cuts disjuntos ! De fato, ele prova o seguinte fato estrutural interessante , para sobre . Um corte é puro se não contiver arestas incidentes em ou em .$T_n$$k$$k$$\sqrt{n}$$s$$t$

Todo puro em contém um caminho de comprimento . T n$k$$T_n$$k$

Isto, em particular, implica que cada dois cortes puros devem se cruzar! Mas talvez ainda existam muitos cortes puros que não se sobrepõem "demais". Portanto, uma pergunta relaxada (as consequências para o STCONN seriam as mesmas ):$k$$k$

Pergunta 2: Se todo corte puro tiver bordas , o gráfico deve ter bordas ? ≥ M Ω ( k ⋅ M $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

A conexão com a complexidade do STCONN vem do resultado de Erdős e Gallai de que é necessário remover todas as bordas exceto de (não direcionado) , a fim de destruir todos os caminhos de comprimento . K m$(k-1)m/2$$K_m$$k$

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EDIT 2: Agora eu fiz a pergunta 2 no mathoverflow .

Resposta curta: não.

Seja um DAG completo (torneio transitivo) em n vértices com s e t sua fonte e afundar, e seja k = $G$$n$$s$$t$ . Observe que pode haver no máximo quatro cortes disjuntos que contêm mais quen/3arestas incidentes emsou mais quen/3arestas incidentes emt. Portanto, se houver muitos cortes disjuntos, podemos assumir que existe um corteCque não contém um grande número de arestas incidentes emset.$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

Agora vamos ser o subgráfico completo induzido em G pelo conjunto de vértices x tal que as bordas s x e x t não pertencem ao C . O número de vértices em X é pelo menos n / 3 , porque, caso contrário, C tocaria muitas arestas incidentes em s ou t . No entanto, X ∖ C não pode conter um caminho k , porque se esse caminho existisse, ele poderia ser concatenado com s e t para formar um caminho longo em $X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$ . Portanto, a camada de caminho mais longo de X ∖ C possui menos de k camadas e uma camada que contém mais de ( n / 3 ) / k = k vértices. Como essa é uma camada com a camada mais longa do caminho, ela é independente em X ∖ C e, portanto, completa em C , portanto C contém um caminho P através dos vértices dessa camada, de comprimento k . Esse caminho deve ser separado de todos os outros cortes.$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

Todo corte que não é deve conter a aresta de s até o início do caminho P ou a aresta do final do caminho P até t , caso contrário, não bloquearia o caminho s - P - t . Portanto, se C existir, pode haver no máximo três cortes disjuntos. E se C não existir (isto é, se todos os cortes cobrirem mais de n / 3 arestas incidentes em s ou em t ), poderá haver no máximo quatro cortes disjuntos. De qualquer forma, isso é muito menos que k cortes.$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$