Teorema da Igreja e Teoremas da Incompletude de Gödel

Recentemente, tenho lido algumas das idéias e da história do trabalho inovador realizado por vários lógicos e matemáticos em relação à computabilidade. Embora os conceitos individuais sejam bastante claros para mim, estou tentando entender com firmeza as inter-relações e o nível abstrato em que todos estão ligados.

Sabemos que o teorema de Church (ou melhor, as provas independentes do problema de Entscheidung de Hilbert por Alonzo Church e Alan Turing) provaram que, em geral, não podemos calcular se uma determinada afirmação matemática em um sistema formal é verdadeira ou falsa. Pelo que entendi, a tese de Church-Turing fornece uma descrição bastante clara da equivalência (isomorfismo) entre o cálculo lambda da Igreja e as máquinas de Turing; portanto, temos efetivamente um modelo unificado de computabilidade. (Nota: Até onde eu sei, a prova de Turing faz uso do fato de que o problema da parada é indecidível. Corrija-me se eu estiver errado.)

Agora, o primeiro teorema da incompletude de Gödel afirma que nem todas as declarações em um sistema formal consistente com poder aritmético suficiente podem ser comprovadas ou refutadas (decididas) dentro desse sistema. De muitas maneiras, isso me parece dizer exatamente a mesma coisa que os teoremas da Igreja, considerando que o cálculo lambda e as máquinas de tornear são sistemas de tipos efetivamente formais!

Esta é, no entanto, minha interpretação holística, e eu esperava que alguém pudesse lançar alguma luz sobre os detalhes. Esses dois teoremas são efetivamente equivalentes? Existem sutilezas a serem observadas? Se essas teorias estão essencialmente olhando para a mesma verdade universal de maneiras diferentes, por que foram abordadas sob ângulos tão diferentes? (Havia mais ou menos 6 anos entre a prova de Godel e a da Igreja). Finalmente, podemos dizer essencial que o conceito de provabilidade em um sistema formal (cálculo de prova) é idêntico ao conceito de computabilidade na teoria da recursão (máquinas de Turing / cálculo lambda)?

Primeiro, sugiro que você leia a "Metamatemática" de Kleene como um bom livro sobre esses tópicos. Os dois primeiros capítulos do volume I da "Teoria da recursão clássica" de Odifreddi também podem ser úteis para entender a relação entre esses conceitos.

Sabemos que o teorema de Church (ou melhor, as provas independentes do problema de Entscheidung de Hilbert por Alonzo Church e Alan Turing) provaram que, em geral, não podemos calcular se uma determinada afirmação matemática em um sistema formal é verdadeira ou falsa.

Eu acho que você está se referindo ao teorema da Igreja de que o conjunto de teoremas da lógica de primeira ordem não é decidível. É importante notar que o idioma é de primeira ordem.

Pelo que entendi, a tese de Church-Turing fornece uma descrição bastante clara da equivalência (isomorfismo) entre o cálculo lambda da Igreja e as máquinas de Turing; portanto, temos efetivamente um modelo unificado de computabilidade.

Não. A equivalência se a computabilidade lambda e a computabilidade Turing é um teorema de Kleene. Não é uma tese. É considerado uma evidência que apóia a tese da Igreja.

Nota: Até onde eu sei, a prova de Turing faz uso do fato de que o problema da parada é indecidível. Corrija-me se eu estiver errado.

Agora, o primeiro teorema da incompletude de Gödel afirma que nem todas as declarações em um sistema formal consistente podem ser comprovadas dentro desse sistema. De muitas maneiras, isso me parece dizer exatamente a mesma coisa que os teoremas da Igreja, considerando que o cálculo lambda e as máquinas de tornear são sistemas de tipos efetivamente formais!

Não. O teorema de Godel afirma que, para todas as teorias consistentes e recursivamente enumeráveis que contêm aritmética suficiente , há uma frase st e nela não são prováveis.φ φ ¬ $\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Isso não indica a mesma coisa. Não diz nada sobre o conjunto de teoremas da teoria ser indecidível.

Esta é, no entanto, minha interpretação holística, e eu esperava que alguém pudesse lançar alguma luz sobre os detalhes. Esses dois teoremas são efetivamente equivalentes? Existem sutilezas a serem observadas? Se essas teorias estão essencialmente olhando para a mesma verdade universal de maneiras diferentes, por que foram abordadas sob ângulos tão diferentes? (Havia mais ou menos 6 anos entre a prova de Godel e a da Igreja).

Ao longo dos anos, houve muitos abusos dos teoremas de Godel (e teoremas semelhantes). Deve-se ter muito cuidado ao interpretá-las. Até onde eu vi, os abusos geralmente resultam do esquecimento de mencionar alguma condição no teorema ou da combinação dos teoremas por outras crenças. Uma análise cuidadosa mostra que esses teoremas, embora relacionados, não são equivalentes.

Finalmente, podemos dizer essencial que o conceito de provabilidade em um sistema formal (cálculo de prova) é idêntico ao conceito de computabilidade na teoria da recursão (máquinas de Turing / cálculo lambda)?

Não entendo o que você quer dizer com "idêntico". Certamente, existem muitas relações entre computabilidade e provabilidade. Talvez eu possa fazer um comentário mais útil se você esclarecer o que você quer dizer com estes serem idênticos.

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Vamos considerar o conjunto de frases bem formadas na linguagem aritmética comoT T h m ( t ) t ¬ T h m ( t ) t t r u e F um l s e t r u e F um l s e L = t r u e ∪ F um l s $L$ . Seja (os axiomas de) uma teoria que satisfaça as condições do primeiro teorema da incompletude. Vamos ser o conjunto de teoremas da teoria e ser o conjunto de sentenças cuja negação é um teorema de . Deixe ser o conjunto de sentenças que são verdadeiras no modelo padrão e o conjunto de sentenças falsas. Uma frase está em se sua negação estiver em . Além disso, toda sentença é verdadeira ou falsa, ou seja, .$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

Sobre a relação entre provabilidade em sistema formal e computabilidade. Uma é a seguinte: Se o sistema é eficaz, o conjunto de expressões deriváveis ​​nele é re e o sistema é um caso especial de gramática. Gramáticas é outra maneira de definir o conceito de computável, que é equivalente à computabilidade da máquina de Turing.

podemos dizer que o conceito de provabilidade em um sistema formal (cálculo de prova) é idêntico ao conceito de computabilidade na teoria da recursão (máquinas de Turing / cálculo lambda)?

Eles são muito semelhantes, mas não idênticos, porque algumas das etapas do cálculo de prova podem representar operações não computáveis.

$ZFC$$\wp(N)$

Da mesma forma, o Teorema da Completude de Gödel nos diz que qualquer fórmula válida na lógica de primeira ordem tem uma prova, mas o Teorema de Trakhtenbrot nos diz que, em modelos finitos, a validade das fórmulas de primeira ordem é indecidível.

Portanto, provas finitas não correspondem necessariamente a operações computáveis.

Embora isso não seja exatamente o que você está perguntando, é da mesma maneira e espero que você (e outros leitores de sua pergunta) ache isso interessante. Você definitivamente deve ler a correspondência de Curry-Howard , que diz que a categoria de programas é, em um sentido específico, isomórfica à categoria de provas construtivas . (Isso está discutindo provas e computabilidade em um nível diferente do que as outras respostas.)

Vou tentar responder à sua pergunta do ponto de vista que você toma, em resumo; Também estou tentando relacionar os dois teoremas de uma maneira diferente.

O primeiro teorema da incompletude de Gödel afirma que em um sistema formal consistente com poder aritmético suficiente, existe uma afirmação P tal que nenhuma prova disso ou de sua negação existe. Isso não implica que não haja algoritmo de decisão para o conjunto de teoremas da teoria, o que também diria que nem P nem P são teoremas. O resultado do teorema de Church-Turing diz que esse algoritmo não existe. Esse é também o núcleo da resposta de Kaveh, espero ter explicado isso mais claramente.

Vou agora tentar provar que o teorema de Church-Turing implica o teorema de Gödel. Por favor, explique-me onde e se estou errado. O conjunto de teoremas Thm é parcialmente decidível e suponha que R seja um programa que o reconheça (ou seja, pare com "yes" se a entrada estiver em Thm, continuando sendo executado de outra forma). Vamos usar isso para criar um novo algoritmo: Dada uma instrução Q, para verificar se é possível, execute R paralelamente em Q e não Q, intercalando sua execução e parando quando o primeiro parar, e produzindo "Não" se "não Q" foi provado e "Sim", caso contrário; isso fornece um algoritmo computável. Assumindo, por contradição, que todas as declarações podem ser provadas ou refutadas, esse algoritmo resolveria o problema de Entscheidung, mas isso é um absurdo! Portanto, deve haver uma declaração que possa '