As redes de prova são interessantes essencialmente por três razões:
1) IDENTIDADE DE PROVAS. Eles fornecem uma resposta para o problema "quando duas provas são iguais"? No cálculo sequencial, você pode ter muitas provas diferentes da mesma proposição, que diferem apenas porque o cálculo sequencial força uma ordem entre as regras de dedução, mesmo quando isso não é necessário. Obviamente, pode-se adicionar uma relação de equivalência nas provas de cálculo sequenciais, mas é preciso mostrar que a eliminação de corte se comporta adequadamente nas classes de equivalência, e também é necessário recorrer ao módulo de reescrita, que é muito mais técnico do que a reescrita simples. As redes de prova resolvem o problema de lidar com classes de equivalência, fornecendo uma sintaxe em que cada classe de equivalência é recolhida em um único objeto. De qualquer forma, essa situação é um pouco idealista, pois, por muitas razões, as redes de prova geralmente são estendidas com alguma forma de equivalência.
2) NENHUMA ETAPA COMUNTATIVA DE ELIMINAÇÃO. A eliminação de cortes em redes de prova tem um sabor bem diferente do que nos cálculos sequenciais porque as etapas comutativas de eliminação de cortes desaparecem. O motivo é que, nas redes de prova, as regras de dedução são conectadas apenas por sua relação causal. Os casos comutativos são gerados pelo fato de que uma regra pode ser oculta por outra regra causalmente não relacionada. Isso não pode acontecer em redes de prova, onde regras causalmente não relacionadas estão distantes. Como a maioria dos casos de eliminação de cortes é comutativa, obtém-se uma impressionante simplificação da eliminação de cortes. Isso tem sido particularmente útil para estudar cálculos lambda com substituições explícitas (porque exponenciais = substituições explícitas). Novamente, essa situação é idealizada, pois algumas apresentações de redes de prova exigem etapas comutativas. Contudo,
3) CRITÉRIOS DE CORRECÇÃO. As redes de prova podem ser definidas pela tradução de provas de cálculo sequenciais, mas geralmente um sistema de redes de prova não é aceito como tal, a menos que seja fornecido com um critério de correção, isto é, um conjunto de princípios teóricos para gráficos que caracterizam o conjunto de gráficos obtidos pela tradução de uma prova. prova de cálculo sequencial. A razão para exigir um critério de correção é que a linguagem gráfica livre gerada pelo conjunto de construtores de redes de prova (chamados links) contém "muitos gráficos", no sentido de que alguns gráficos não correspondem a nenhuma prova. A relevância da abordagem dos critérios de correção é geralmente completamente incompreendida. É importante porque fornece definições não indutivas do que é uma prova, fornecendo perspectivas surpreendentemente diferentes sobre a natureza das deduções. O fato de a caracterização não ser indutiva é geralmente criticado, enquanto é exatamente o que é interessante. Obviamente, não é facilmente passível de formalização, mas, novamente, esse é seu ponto forte: as redes de prova fornecem insights que não estão disponíveis na perspectiva indutiva usual de provas e termos. Um teorema fundamental para redes de prova é o teorema da seqüencialização, que diz que qualquer gráfico que satisfaça o critério de correção pode ser decomposto indutivamente como prova de cálculo sequencial (traduzindo de volta para o gráfico correto).
Permitam-me concluir que não é preciso dizer que as redes de prova são uma versão clássica e linear da dedução natural. O ponto é que eles resolvem (ou tentam resolver) o problema da identidade das provas e que a dedução natural resolve com êxito o mesmo problema para uma lógica intuicionista mínima. Mas redes de prova também podem ser feitas para sistemas intuicionistas e para sistemas não lineares. Na verdade, eles funcionam melhor para sistemas intuicionistas do que para sistemas clássicos.