Gráficos em que todo separador mínimo é um conjunto independente

Antecedentes: Deixe- ser dois vértices de um grafo não direcionado G = ( V , E ) . Um conjunto vértice S ⊆ V é um u , v -separator se u e v pertencem a diferentes componentes ligados de L - S . Se nenhum subconjunto adequado de um u , v -separator S for u , v -separator, então S será um mínimo u , $u, v$$G=(V,E)$$S\subseteq V$$u,v$$u$$v$$G-S$$u,v$$S$$u,v$$S$$u,v$-separador. Um conjunto de vértices é um separador (mínimo) se existirem vértices u , v de modo que S seja um (mínimo) u , v- separador.$S\subseteq V$$u, v$$S$$u,v$

Um teorema bem conhecido de G. Dirac afirma que um gráfico não tem ciclos de comprimento induzidos pelo menos quatro (chamado gráfico triangular ou cordal) se e somente se cada um de seus separadores mínimos for um clique. Também é sabido que gráficos triangulados podem ser reconhecidos em tempo polinomial.

Minhas perguntas: Quais são os gráficos nos quais todo separador mínimo é um conjunto independente? Estes gráficos são estudados? E qual é a complexidade de reconhecimento desses gráficos? Exemplos para esses gráficos incluem árvores e ciclos.

Seus gráficos foram caracterizados por este artigo http://arxiv.org/pdf/1103.2913.pdf .

Edit: No artigo acima, está provado que os gráficos nos quais todo separador mínimo é um conjunto independente são exatamente aqueles que não contêm ciclo com exatamente um acorde.

Gráficos que não contêm ciclo com exatamente um acorde foram estudados em profundidade por Trotignon e Vuskovic, um teorema de estrutura para gráficos sem ciclo com um acorde único e suas conseqüências , J. Graph Theory 63 (2010) 31-67 DOI . Como resultado deste artigo, esses gráficos podem ser reconhecidos em tempo polinomial. (No entanto, este documento não apontou a conexão com separadores mínimos independentes!)

Editar (17 de setembro de 2013): Muito recentemente (veja aqui ), Terry Mckee descreve todos os gráficos em que cada separador de vértices mínimo é um clique ou um conjunto independente. Acontece que estas são as '' somas das arestas '' de gráficos e gráficos de acordes, nos quais todo separador mínimo de vértices é um conjunto independente.

Aparentemente, a primeira caracterização dos gráficos em que todo separador mínimo é um conjunto independente apareceu em TA McKee, "Gráficos separadores independentes", Utilitas Mathematica 73 (2007) 217--224. Estes são precisamente os gráficos nos quais nenhum ciclo possui um acorde único (ou, equivalentemente, no qual, a cada ciclo, todo acorde possui um acorde de cruzamento).

Existem dois novos artigos sobre gráficos sem ciclo com exatamente um acorde. Ambos lidam principalmente com a coloração desses gráficos: http://arxiv.org/abs/1309.2749 e http://arxiv.org/abs/1311.1928 .

$O(m^2n)$$O(mn)$