As cores dos vértices - em certo sentido - são as cores das arestas?

Sabemos que coloração de arestas de um gráfico são corantes de vértice de um grafo especial, ou seja, o gráfico de linha de . $G$ $L(G)$ $G$

Existe um operador de gráfico tal que as cores de vértice de um gráfico sejam cores de borda do gráfico ? Estou interessado em um operador de gráfico que possa ser construído em tempo polinomial, ou seja, o gráfico pode ser obtido de em tempo polinomial. $\Phi$ $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$

Observação : pergunta semelhante pode ser feita para conjuntos e combinações estáveis. Uma correspondência em é um conjunto estável em . Existe um operador gráfico tal que conjuntos estáveis em sejam correspondidos em ? Como STABLE SET é completo e MATCHING pertence a , um operador de gráfico (se existir) não pode ser construído em tempo polinomial, assumindo que . $G$ $L(G)$ $\Psi$ $G$ $\Psi(G)$ $\mathsf{ NP}$ $\mathsf{P}$ $\Psi$ $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

EDIT: Inspirado na resposta de @ usul e nos comentários de Okamoto e @ King, encontrei uma forma mais fraca para o meu problema: as cores de vértice de um gráfico são cores de borda de um hipergrafo definido da seguinte maneira. O conjunto de vértice é o mesmo vértice definido de . Para cada vértice de , a vizinhança fechada é uma aresta do hipergrafo . Então é o gráfico de linhas do hipergrafo e, portanto, as cores dos vértices de são as cores das bordas de . $G$ $\Phi(G)$ $\Phi(G)$ $G$ $v$ $G$ $N_G[v]= N_G(v) \cup\{v\}$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$ $G$ $\Phi(G)$

Mais uma vez, sou grato por todas as respostas e comentários que mostram que, com ou sem assumir , o operador que estou procurando não pode existir. Seria bom se eu pudesse aceitar todas as respostas! $\mathsf{NP}\not=\mathsf{P}$

graph-theory graph-algorithms

— user13136
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Obrigado a todos por comentários gentis (e paciência!) E respostas úteis. Preciso de tempo para ler, pensar e possivelmente voltar com novos olhos.

— User13136

Me deparei com o seguinte problema bastante interessante colocado por Nishizeki e Zhou em 1998, que está de alguma forma relacionado à sua pergunta e seu segundo comentário a @TsuyoshiIto: O problema da coloração de vértice pode ser "simplesmente" reduzido ao problema de coloração de borda? (...) Como os dois problemas são NP-completos, ambos podem ser reduzidos ao outro de maneira plausível através do 3-SAT, devido à teoria da NP-completude. Assim, o problema aberta pergunta, ... (ver aqui )

— vb le

@ vble: obrigado! Eu admito que queria "demais". Esse operador resolveria o problema de Nishizeki e Zhou.

— User13136

Respostas:

Por analogia com o gráfico de linhas , acho que você está perguntando o seguinte:

Para todo gráfico não direcionado , existe um gráfico não direcionado tal que cada vértice corresponde a uma aresta e as bordas correspondente a e partes, pelo menos, um terminal se e somente se ? $G = (V,E)$ $G' = (V',E')$ $v \in V$ $(v_1,v_2) \in E'$ $u \in V$ $v \in V$ $(u,v) \in E$

A resposta pode ser vista como não . Considere a árvore de quatro vértices com raiz tendo três filhos . Em , devemos ter quatro arestas: . Além disso, deve ser o caso em que $G$ $v$ $x,y,z$ $G'$ $(v_1,v_2),(x_1,x_2),(y_1,y_2),(z_1,z_2)$ ou é um ponto final de cada uma das outras três arestas (ou seja, , etc). Mas isso significa que pelo menos duas das outras três arestas devem compartilhar um ponto de extremidade comum, o que viola nossos requisitos, já que nenhum de é adjacente no gráfico original. $v_1$ $v_2$ $\left| \{v_1,v_2\} \cap \{x_1,x_2\} \right| \geq 1$ $x,y,z$

Penso que o mesmo gráfico também fornecerá um contra-exemplo para a pergunta correspondente.

— usul
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Bom ponto! Na verdade, eu tive os mesmos pensamentos. Mas talvez haja outra maneira de definir

? Ou como podemos formalmente provar que tal operador

não existe?

G^{'}

$G'$

Φ

$\Phi$

— User13136

@ user13136, hmm, talvez haja alguma maneira criativa de contornar isso, mas você precisará reformular sua pergunta (acho que meu contraexemplo é uma prova formal da pergunta, conforme descrito na caixa citada). Intuitivamente, acho que o problema é que, ao seguir a direção do gráfico de linhas, pegamos uma aresta (que só pode ser conectada a dois vértices) e a transformamos em um vértice (que pode ser conectado a qualquer número de arestas) - fácil . O inverso é oposto e mais difícil.

— usul

Apenas adicionando à resposta de usul, a resposta curta é não, porque as correspondências têm propriedades estruturais não necessariamente presentes em conjuntos estáveis. Por exemplo, todo gráfico de linhas também é quase sem linha e sem garras; isso realmente limita a profundidade das cores das arestas em comparação com as cores dos vértices.

— Andrew D. King

A pergunta contém alguma ambiguidade no que você quer dizer com “cores de vértices de um gráfico G são cores de arestas de um gráfico H ”, mas é difícil para NP construir um gráfico cujo número cromático de aresta seja igual ao número cromático de (vértice) de um dado gráfico. Formalmente, o seguinte problema de relação é NP-difícil.

Representando número cromática como borda número cromática
Instância : Um gráfico G .
Solução : Um gráfico H tal que a borda número cromático χ '( H ) de H é igual ao número cromática χ ( L ) de L .

Isso ocorre porque o teorema de Vizing fornece um algoritmo eficiente (trivial) que aproxima o número cromático da aresta dentro de um erro aditivo de 1, enquanto o número cromático é difícil até de aproximar em vários sentidos. Por exemplo, Khanna, Linial e Safra [KLS00] mostraram que o seguinte problema é NP-completo (e mais tarde Guruswami e Khanna [GK04] deram uma prova muito mais simples):

3-colorível versus não-4-colorível
Instância : Um gráfico G .
Sim, prometo : G é tricolor.
Sem promessa : G não é de 4 cores.

Este resultado é suficiente para provar a dureza NP que afirmei no início. Uma prova é deixada como um exercício, mas aqui está uma dica:

Exercício . Prove que o problema mencionado acima “Representando número cromático como número cromático da aresta” é NP-rígido sob redutibilidade funcional em tempo polinomial ao reduzir “3 cores para não 4 cores” para ele. Ou seja, construa duas funções de tempo polinomial f (que mapeia um gráfico para um gráfico) eg (que mapeia um gráfico para um bit) de forma que

Se G é um gráfico tricolor e H é um gráfico tal que χ ( f ( G )) = χ '( H ), então g ( H ) = 1.

Se G é um gráfico não de 4 cores e H é um gráfico tal que χ ( f ( G )) = χ '( H ), então g ( H ) = 0.

Referências

[GK04] Venkatesan Guruswami e Sanjeev Khanna. Sobre a dureza de 4 cores, um gráfico de 3 cores. Jornal SIAM sobre Matemática Discreta , 18 (1): 30–40, 2004. DOI: 10.1137 / S0895480100376794 .

[KLS00] Sanjeev Khanna, Nathan Linial e Shmuel Safra. Sobre a dureza de aproximar o número cromático. Combinatorica , 20 (3): 393–415, março de 2000. DOI: 10.1007 / s004930070013 .

— Tsuyoshi Ito
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Obrigado pela resposta! Sou um pouco impreciso ao formular “cores de vértices de um gráfico

são cores de borda de um gráfico

”. O que quero dizer é um operador

como o operador de gráfico de linha

, mas de cores de vértice a cores de arestas. De alguma forma, isso é mais que

G

$G$

H

$H$

Φ

$\Phi$

L

$L$

χ (G) = χ^{'} (H)

$\chi(G) = \chi'(H)$

— User13136

Desde VÉRTICE COLORAÇÃO COLORAÇÃO e EDGE são ambos

-completo, pode-se construir, por definição,

a partir de

em tempo polinomial tal que

sse

.mas uma necessidade, tal construção não cumprir a propriedade para um operador

Eu estou procurando. Apenas reduz as cores dos vértices para as cores das arestas.

N P

$\mathsf{NP}$

H

$H$

G

$G$

χ (G) \leq k

$\chi(G) \le k$

χ^{'} (H) \leq k^{'}

$\chi'(H) \le k'$

Φ

$\Phi$

— user13136

@ user13136: Se um requisito mais fraco é impossível de satisfazer, o requisito mais forte também é obviamente impossível. Isso é lógico. Você deve entender que seu exemplo de gráfico planar não é um contraexemplo disso. Decidir a cor 3 de um determinado gráfico planar não é um requisito mais fraco do que decidir a cor 4 de um determinado gráfico planar; eles são apenas requisitos diferentes. Por outro lado, eu já mostrei que o que você quer é impossível, a menos que P = NP, ponto final. Mas se você tiver problemas para entender isso, acho que não há nada que eu possa fazer para ajudá-lo a entender.

— Tsuyoshi Ito

Se eu entendi a pergunta corretamente, tal mapa

não existe. Não precisamos nos referir à integridade do NP. Apenas considere

e suponha que

exista. Como

é 2 cores,

deve ser de 2 margens. Isso significa que o grau máximo de

é no máximo dois. Como

tem quatro arestas, podemos passar por todos os candidatos a

Φ

$\Phi$

G = K_{1, 3}

$G=K_{1,3}$

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$

Φ (G)

$\Phi(G)$ (sete candidatos até o isomorfismo), e descobriremos que a família de cores de borda de

e a família de cores de vértice de

são diferentes. Uma contradição.

Φ (G)

$\Phi(G)$

G

$G$

— Yoshio Okamoto

@ user13136: Ocorreu-me que você poderia estar confuso porque escrevi apenas uma ideia de prova e deixei de fora a prova real. Revisei a resposta para ficar claro que deixei de fora a prova real e adicionei algumas dicas para a prova. Se isso ainda não funcionar para você, vou desistir.

— Tsuyoshi Ito

(Esta é uma adição à resposta de usul e comentário de YoshioOkamoto, em vez de uma resposta.) Pode-se ver que sua operação existe apenas para os gráficos para os quais existe um gráfico com , ou seja, é um gráfico de linhas (verificável em polytime). Nesse caso, é o "operador de gráfico de linha inversa" , ou seja, , e as cores dos vértices de são as bordas de $\Phi$ $G$ $G'$ $G = L(G')$ $G$ $\Phi$ $L^{-1}$ $\Phi(G)=G'$ $G$ . $\Phi(G)$

— Em teoria
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