Ajustar o número mínimo de retângulos de largura / altura 1 em uma grade 2D

Considere um problema no qual você recebe uma grade 2D (por exemplo, um tabuleiro de xadrez) em que certos quadrados estão ocupados e você precisa colocar o número mínimo de retângulos sem sobreposição de qualquer tamanho wxh em que w = 1 ou h = 1 (ou seja, "quadrado" segmentos ") de forma que todos os quadrados desocupados sejam cobertos e cada retângulo cubra apenas quadrados desocupados.

Por exemplo, para a grade

..###
.....
..###
.#...

a solução seria 4, já que você pode cobrir todos os quadrados desocupados (indicados por '.') com 4 retângulos da seguinte maneira:

12###
12333
12###
1#444

Tentei criar um algoritmo polinomial ou provar que esse problema é difícil para o NP, mas sem sucesso. Alguém pode me ajudar a provar / refutar que este é um problema em P ou apontar-me para alguns trabalhos / problemas relacionados?

— eold
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Os retângulos também podem cobrir quadrados ocupados? Além disso, os retângulos podem se sobrepor? A maneira como você apresentou a solução do exemplo sugere que nenhum deles é permitido, mas a declaração do problema não diz nenhuma restrição.

— Tsuyoshi Ito

Correto, nenhum é permitido. Vou atualizar a declaração do problema.

— eold

stackoverflow.com/questions/8639154/…

— Ciro Santilli escreveu:

$P$ $1\times a$ $b\times 1$

$G$ $P$ $P$ $G$ $v$ $G$ $s$ $v$ $s$

$R=S-I$ $R$ $S$ $P$ $I$ $I$ $S$ $R$ $I$ $P$ $G$ $G$ é um gráfico bipartido (os segmentos horizontais são adjacentes apenas aos segmentos verticais e vice-versa); portanto, seu conjunto independente máximo pode ser encontrado em tempo polinomial (consulte o teorema de König na Wikipedia).

— David Eppstein
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