minimizando o tamanho da expressão regular para conjuntos finitos

Sabe-se que minimizar o tamanho de uma expressão regular é completo no PSPACE, mesmo que tenhamos um DFA como especificação da linguagem .

Quais são os resultados se o idioma for finito?

Pode-se considerar esse problema em dois modelos:

1. A entrada é todas as strings do idioma e medimos o tamanho da entrada pela soma do comprimento de todas as strings.
2. A entrada é um DFA e medimos o tamanho da entrada pelo número de estados do DFA.

A estrela Kleene não é útil no caso finito; portanto, somente , | e ⋅ (concatenação) são usados ​​na expressão. Obviamente, o tamanho de uma expressão regular parece arbitrário. Em vez disso, pode-se dar peso a cada operação (incluindo adicionar parênteses) e pedir para minimizar o peso da expressão regular.$()$$|$$\cdot$

Edit: Como adrianN observou, está relacionado a códigos baseados em gramática. É NP-completo produzir a gramática livre de contexto de comprimento mínimo para descrever um conjunto finito. Não está claro por que a gramática livre de contexto de tamanho mínimo pode implicar muito na expressão regular de tamanho mínimo. Talvez uma regra inteligente de reescrita possa relacionar esses dois e provar que, no primeiro modelo, o problema está no NP.

$\Sigma^P_2$$k$

Acredito que não sejam conhecidos mais resultados sobre seus problemas. Para um problema de otimização de aparência semelhante, em que o objetivo é encontrar um autômato finito não determinístico equivalente ao invés de uma expressão regular, os seguintes resultados são conhecidos:

• ${\bf DP}$${\bf DP}$
• Para entradas descritas como uma lista de palavras, o problema mínimo equivalente de NFA é ${\bf NP}$
• $L \subseteq \{0,1\}^m$${\bf NP}$

Cuidado: ao contrário da configuração de idiomas infinitos, não vejo uma redução direta do caso de minimização da NFA aos problemas de sua pergunta.

Referências:

(1) Hermann Gruber e Markus Holzer. Complexidade Computacional da Minimização de NFA para Idiomas Finitos e Unários . In: 1ª Conferência Internacional sobre Linguagem e Teoria de Autômatos e Aplicações (LATA 2007), pp. 261-272, 2007.

(2) Hermann Gruber e Markus Holzer. Inaproximabilidade do estado não determinístico e da complexidade de transição assumindo P <> NP . In: 11th International Conference on Developments in Language Theory (DLT 2007), LNCS 4588, pp. 205-216, 2007.

$L=\{w\}$$w$ .

aparentemente sem uma resposta exata exata ou melhor que essa, aqui está uma referência próxima / recente à pesquisa especificamente sobre o objetivo de minimizar os REs (que é um ângulo aparentemente incomum):

Minimizando as AFN e as expressões regulares (2005) de Gregor Gramlich, Georg Schnitger

Mostramos resultados de inadequação relativos à minimização de autômatos finitos não determinísticos (nfa), bem como expressões regulares relativas a determinados nfa, expressões regulares ou autômatos finitos determinísticos (dfa). Mostramos que é impossível minimizar com eficiência um determinado nfa ou expressão regular com n estados, transições, resp. símbolos dentro do fator o (n), a menos que P = PSPACE. Nossos resultados de inadequação para um dado dfa com n estados são baseados em suposições criptográficas e mostramos que qualquer algoritmo eficiente terá um fator de aproximação de pelo menos poli (log n). Nossa configuração também nos permite analisar o problema mínimo consistente de dfa.