Sobre o Inverso 3-SAT

Contexto : Kavvadias e Sideri mostraram que o problema Inverso 3-SAT é coNP Completo: Dado um conjunto de modelos em n variáveis, existe uma fórmula 3-CNF tal que ϕ é seu conjunto exato de modelos? Surge uma fórmula candidata imediata que é a conjunção de todas as 3 cláusulas satisfeitas por todos os modelos em ϕ .$\phi$$n$$\phi$$\phi$

Como ela contém todas as 3 cláusulas implícitas, essa fórmula candidata pode ser facilmente transformada em uma fórmula equivalente que é fechada três vezes em resolução - O fechamento de uma fórmula é o subconjunto de seu fechamento em resolução que contém apenas cláusulas de tamanho 3 ou menos. Uma fórmula CNF é encerrada em resolução se todos os possíveis resolventes forem incluídos em uma cláusula da fórmula - uma cláusula c 1 será subsumida por uma cláusula c 2 se todos os literais de c 2 estiverem em c 1 .$F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Dado , uma atribuição parcial das variáveis, de modo que eu não seja um subconjunto de nenhum modelo de ϕ .$I$$I$$\phi$

Ligue para , a fórmula induzida pela aplicação de I a M φ : Qualquer cláusula que contém um literal que avalia a t r u e sob I é suprimida da fmula e quaisquer literais que avaliam a f um l s e sob I são eliminados de todas as cláusulas .$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Ligue para , a fórmula que derivou de F ϕ | I por todas as possíveis resoluções limitadas em 3 (em que o resolvido e os operandos têm no máximo 3 literais) e subseções.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Pergunta : É fechado em resolução?$G_{\phi|I}$

Resposta: Sim (mesmo que seja um subconjunto de algum modelo de ϕ )$I$$\phi$

Deixe o conjunto de cláusulas derivadas de F ϕ ∪ F ϕ | Eu por todas as possíveis resoluções e subsunções 3-limitadas ( R | I é o fechamento 3-limitada do F & Phi; ∪ F & Phi; | I ). Dado c uma cláusula implícita por F φ , que existe, pelo menos, um subconjunto de R | I cujas cláusulas implicam c . Nomeie R c como um subconjunto.$R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Deixe a seguinte propriedade: Para todos os c implicados por F ϕ de modo que | c | I | ≤ 3 ,$P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

tal que | R c | ≤ k ⇒ c | I é incluído em alguma cláusula ∈ G ϕ | Eu$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Aqui começa a recorrência. Dado implícito em F ϕ tal que | c | I | ≤ 3 , ou seja, c | Eu ∈ o 3 fechamento de F ϕ | I .$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. . Se ∃ R c ⊆ R | Eu / | R c | = 1 então R c = { d } ( d ∈ F & Phi; ∪ F & Phi; | I engloba c ) e c | I é incluído por d | Eu ∈ F ϕ | I (observe que qualquer cláusula de F ϕ |$k=1$$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$é incluído em alguma cláusula de ) Assim, P ( 1 ) .$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Suponha para k ≥ 1 . Se ∃ R c ⊆ R | Eu tal que | R c | ≤ k + 1 (e nenhum outro R c de um tamanho tal que c ∉ F φ e | c | > 3 ) então supor c = ( α β y G I ) onde α , β $P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$ são literais não definidos por I e L I é um subconjunto de literais, todos avaliados como 0 em I ( L I ≠ ∅ ) , ou seja, c | I = ( α β γ ) , com α , β , γ não necessariamente diferente. $\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Remover uma cláusula a partir de R c tal que | d i | I | < | d i | ≤ 3 , em outras palavras, de tal modo que d i contém alguns literal de L I (há, pelo menos, uma tal cláusula em R c uma vez que L I ≠ ∅ ) e | d i | I | ≤ 2 .$d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. O tamanho do conjunto restante é ≤ k . Se uma determinada cláusula c ′ = ( α β γ L ′ I ) é implícita por R c ∖ d i (onde L ′ I é um subconjunto de literais, todos são avaliados como 0 em I ) | c ′ | I | = 3 e ∃ R c ′ = R c ∖ $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$ tal que | R c ′ | ≤k. PorP(k), c ′ | I =(αβγ)é então incluído por alguma cláusula∈ G ϕ | I , induzindoP(k+1)parac.$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Se contém ˉ α ou ˉ β ou ˉ γ então d i | Eu é inútil implicar [alguma cláusula subsumir] c . Então R c ∖ d i implica c , induzindo P ( k + 1 ) como mostrado anteriormente.$d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Se substitui c | Eu então P ( k + 1 ) é satisfeito por c .$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Se não substituo c | I e não contém ˉ α ou ˉ β ou ˉ γ, então d i | I = ( x ) ou d i | I = ( a x ) ou d i | I = ( x y ) , onde x e y ∉ { ct p $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ e não são definidos por I e a ∈ { α β γ } .$\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Se , então R c ∖ d i implica ( ˉ x ct p y L eu ) (recorde-se que o que implica um certo cláusula C meios que impliquem uma cláusula que engloba C ). Como qualquer resolução com d i | I = ( x ) como operando remove ˉ x do outro operando, então nenhuma cláusula de R c ∖ d $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$contém (desde que R c ∖ d i ⊆ R | I que é o fecho 3-limitada do F & Phi; ∪ F & Phi; | I ). Em seguida, R c ∖ d i implica ( ct p y G I ) , induzindo P ( k + 1 ) , como mostrado no ponto (4).$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Se , então R c ∖ d i implica ( ˉ x ct p y L eu ) . Substitua ˉ x por um em cada possível cláusula de R c ∖ d i (se a nova cláusula é subsumido por alguma cláusula R | I , manter a cláusula de subsunção ao invés De qualquer forma, a cláusula de substituição está dentro. R | I ). Nome R $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$ o conjunto resultante ( R c , d i ⊆ R | I ). Em seguida, R c , d i implica(ctpy G I ), induzindoP(k+1)tal como acima.$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Se então R c ∖ d i implica ( ˉ x ct p y G I ) e ( ˉ y ct p y L eu ) . Substituir ˉ x por y em cada possível cláusula de R c ∖ d i (como acima, se a nova disposição é absorvido por alguns cláusula em R |$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$, mantenha a cláusula de subsumição). Nomeie o conjunto resultante ( R c , d i ⊆ R | I ). Em seguida, R c , d i implica ( y ct p y L eu ) . Uma vez que implica também ( ˉ y ct p y G I ) , em seguida, ela implica a resolvente ( ct p y G I ) , induzindo $R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ .$P(k+1)$

Por esta recorrência, qualquer cláusula o 3-fechamento de F & Phi; | I é incluído em alguma cláusula ∈ G ϕ | Eu (o contrário também vale). Então G ϕ | I corresponde ao 3 fechamento de F ϕ | I .$\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Não vejo como pode ser calculado em tempo polinomial, pois fazer a resolução em si leva tempo exponencial (no pior caso). Por exemplo, digamos que sua fórmula candidata de 3-CNF F 1 seja a seguinte: F 1 : = { { a , b , c } , { d , e , ¬ c } , { a , ¬ b , f } , { d , e , ¬ f } $F_\phi$$F_1$

$F_\phi$