Como um problema pode estar no NP, ser difícil do NP e não completo do NP?

Durante muito tempo, pensei que um problema era NP-completo se fosse (1) NP-difícil e (2) estivesse em NP.

No entanto, no famoso artigo "O método elipsóide e suas conseqüências na otimização combinatória" , os autores afirmam que o problema do número cromático fracionário pertence ao NP e é NP-difícil, mas ainda não é conhecido como NP-completo. Na terceira página do artigo, os autores escrevem:

... observamos que o problema de empacotamento de vértices de um gráfico é, em certo sentido, equivalente ao problema de número cromático fracionário, e comentamos o fenômeno de que esse último problema é um exemplo de um problema em que é -hard mas (como por agora) não conhecido por ser -completo. $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Como isso é possível? Estou faltando um detalhe sutil na definição de NP-complete?

— Austin Buchanan
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Parece que o problema é o tipo de reduções utilizadas para cada um deles, e eles estão usando os diferentes: eles provavelmente média " -Hard wrt reduções cozinhar" e " -completo wrt reduções Karp". $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

Às vezes, as pessoas usam a versão redução Cook, -hardness porque é aplicável a problemas computacionais mais gerais (e não apenas problemas de decisão). Embora a definição original de ambos -hardness e reduções de Cook usados -completeness (polinomial-time Turing reduções) tornou-se raro usar reduções de Cook para -completeness (a menos que seja explicitamente indicado). Não me lembro de qualquer trabalho recente que usou -Complete significar wrt -completo reduções Cook. (Como observação, observe o primeiro problema a ser provado para $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ -hard não era TAUT e a integridade do SAT está implícita nessa prova.)

Agora, se você olhar para a seção 7 do papel, parte inferior da página 195, você vai ver que eles significam reduções wrt Turing -hardness. $\mathsf{NP}$

Então, o que eles querem dizer aqui é que o problema está no , é difícil para wrt reduções de Cook, mas não se sabe ser difícil para wrt reduções Karp (em tempo polinomial muitos-um reduções). $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{NP}$

— Kaveh
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Você quer dizer DNF-Tautology by Taut? Isso não é CoNP completo? Porque a CNF-Tautologia é trivial.

— Tayfun Pay

@TayfunPay: Provavelmente Tautologia para fórmulas arbitrárias, não apenas CNF ou DNF. E Co-NP-complete e NP-complete são as mesmas reduções erradas de Cook, razão pela qual Kaveh menciona essa anedota.

— frafl

@ Tayfun, Cook prova isso para fórmulas gerais e usa-o DNF-TAUT é um corolário no papel. Ambos são reduções de NP- Hard Wrt Cook.

— Kaveh

@frafl, "NP-complete" é definido no artigo de Karp, de 1972 . O artigo de Cook de 1971 define reduções de Cook e prova que TAUT é NP-difícil. Isso também prova que vários problemas são equivalentes às reduções de Cook. No entanto, a compatibilidade com NP não é explicitamente declarada no artigo original.

— Kaveh