Estrutura de dados para atualizações em intervalos e consulta de número de zeros

Estou procurando uma estrutura de dados que mantenha uma tabela inteira $t$ de tamanho $n$ e permita as seguintes operações no tempo $O(\log n)$ .

$\text{increase}(a,b)$ , que aumenta $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$ .
, que diminui . $\text{decrease}(a,b)$ $t[a],t[a+1],\ldots,t[b]$
, que retorna o número de índices tal que . $\text{support}()$ $i$ $t[i]\neq 0$

Você tem a promessa de que cada chamada para diminuir pode ser correspondida a uma chamada anterior para aumentar com os mesmos parâmetros . A aplicação que tenho em mente é um algoritmo de linha de varredura para calcular no tempo a área da união de n dados retângulos retilíneos. $a,b$ $O(n\log n)$

Uma árvore quádrupla teria tamanho , portanto não é uma solução. As árvores Fenwick ou Interval têm o sabor certo, mas não vejo como estendê-las para apoiar as operações acima. $\Theta(n^2)$

ds.data-structures cg.comp-geom

— Christoph Dürr
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As árvores Fenwick não usariam a promessa de que "cada chamada para diminuir pode ser correspondida a uma chamada anterior para aumentar com os mesmos parâmetros a, b"; portanto, pode haver uma solução mais simples usando essa promessa (mas ela me escapa por enquanto).

— Jeremy

Como o número de entradas que você pode ter é no máximo

(é possível detectar repetições e não inserir na estrutura de dados), ainda obtemos desempenho

usando a estrutura de dados da árvore de medidas comuns. Veja cosy.sbg.ac.at/~ksafdar/data/courses/SeminarADS/… slide 47-52.

n^{2}

$n^2$

O (\log n)

$O(\log n)$

— Chao Xu

Jérémie e Chao Xu. Obrigado por seus comentários. Agora eu entendo como a Árvore Interval pode ser usada para manter o comprimento total da união de um conjunto de intervalos em mudança. Esta é de fato uma estrutura de dados muito fofa.

— Christoph Dürr 12/04

Para o problema geral da estrutura de dados, a busca no tempo do

requer espaço

onde

é o tamanho da lista de pares de coordenadas ativas. Mas, de fato, para o algoritmo sweepline

, o espaço permanece linear. O problema ainda está aberto para uma estrutura de dados com espaço melhor que

, quando

\log (n^{2}) \in O (\log (n))

$\log(n^2)\in O(\log(n))$

O (p) \subset O (n^{2})

$O(p)\subset O(n^2)$

p

$p$

p \in O (n)

$p\in O(n)$

O (p)

$O(p)$

p \in ω (n)

$p\in\omega(n)$

— Jeremy

Aqui está um link agradável, onde você pode testar suas implementações contra outras soluções para o mesmo problema: spoj.com/OI/problems/NKMARS

— Erel Segal-Halevi

Respostas:

Use uma árvore de segmentos - uma partição recursiva do intervalo em intervalos menores. Cada intervalo de suas operações de atualização pode ser particionado em dos intervalos nessa partição recursiva. Para cada intervalo armazenamento: $[1,n]$ $[a,b]$ $O(\log n)$ $[x,y]$

O número de intervalos $c(x,y)$ que foram aumentados e não diminuídos, de modo que é um dos intervalos nos quais é particionado $[a,b]$ $[x,y]$ $[a,b]$
O número de células que não são cobertas por subconjuntos particionados de intervalos que estão em ou menos na recursão $u(x,y)$ $[x,y]$

Então, se é dividido recursivamente em e , temos $[x,y]$ $[x,z]$ $[z+1,w]$

você (x, y) = {\begin{cases} 0 0 & E se c (x, y) > 0 0 \\ você (x, z) + você (z + 1, y) & de outra forma \end{cases}

$u(x,y)=\begin{cases} 0&\text{if }c(x,y)>0\\ u(x,z)+u(z+1,y)&\text{otherwise} \end{cases}$ para que possamos atualizar cada valor de

em tempo constante quando os outros dados de um intervalo mudam. Cada consulta de suporte pode ser respondida olhando para

u (x, y)

$u(x,y)$

u (1, n)

$u(1,n)$

Para executar uma operação de aumento , particione em intervalos , incremente $(a,b)$ $[a,b]$ $O(\log n)$ para cada um desses intervalos e use a fórmula acima para recalcular para cada um desses intervalos e cada um de seus ancestrais. A operação de diminuição é a mesma com um decremento em vez de um incremento. $c(x,y)$ $u(x,y)$

— David Eppstein
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Acho que não entendi sua segunda bala. Na subárvore com rot rotulada

, quais células não são cobertas por subconjuntos particionados de intervalos em

? O intervalo inteiro

coberto, então

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

u (x, y) = 0

$u(x,y) = 0$

— Jbapple #

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$

[x, y]

$[x,y]$ em sua partição) ele diminui.

— David Eppstein

Você poderia dar um exemplo?

— Jbapple

Suponha que seu intervalo seja o número [1,8]. É recursivamente dividido em [1,4], [4,8], depois [1,2], [3,4], [5,6] e [7,8], e em seguida todos os intervalos de um elemento. Inicialmente, tudo é descoberto, todos c [x, y] = 0 e cada intervalo possui u = seu comprimento. Mas então, suponha que você execute uma operação de aumento [2,6]. Os intervalos máximos O (log n) nos quais [2,6] podem ser decompostos são [2,2], [3,4] e [5,6], portanto, definimos c [x, y] para esses três varia de 1. De acordo com a fórmula da minha resposta, isso faz com que u [x, y] para esses três intervalos também se tornem 0. u [1,2] se torna 1, u [1,4] também se torna 1, u [ 5,8] = 2, e u [1,8] = 1 + 2 = 3

— David Eppstein

$\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n}\log n)$ $\text{support}$ $O(1)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $\text{increase}$ $\text{decrease}$ $O(\sqrt{n})$ $a$ $b$ $\omega(\log n)$

— jbapple
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O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

O (\log n)

$O(\log{n})$