Principais problemas não resolvidos em ciência da computação teórica?

A Wikipedia lista apenas dois problemas em "problemas não resolvidos em ciência da computação" :

• P = NP?
• A existência de funções unidirecionais

Quais são outros problemas importantes que devem ser adicionados a esta lista?

Regras:

1. Apenas um problema por resposta
2. Forneça uma breve descrição e todos os links relevantes

A multiplicação de por matrizes pode ser feita em operações ?n O ( n 2$n$$n$$O(n^2)$

O expoente do limite superior mais conhecido ainda possui um símbolo especial, . Atualmente é de aproximadamente 2.376, pelo algoritmo Coppersmith-Winograd . Uma boa visão geral do estado da arte é Sara Robinson, Em direção a um algoritmo ideal para multiplicação de matrizes , SIAM News, 38 (9), 2005.$\omega$$\omega$

Atualização: Andrew Stothers (em sua tese de 2010 ) mostrou que , que foi aprimorado por Virginia Vassilevska Williams (em uma pré-impressão em julho de 2014 ) para . Esses limites foram obtidos por uma análise cuidadosa da técnica básica de Coppersmith-Winograd.ω < $\omega < 2.3737$$\omega < 2.372873$

Atualização adicional (30 de janeiro de 2014): François Le Gall provou que em um artigo publicado no ISSAC 2014 ( pré-impressão arXiv ).$\omega < 2.3728639$

O isomorfismo do gráfico está em P?

A complexidade do isomorfismo de grafos (IG) é uma questão em aberto há várias décadas. Stephen Cook mencionou isso em seu artigo de 1971 sobre a NP-completude do SAT .

Determinar se dois gráficos são isomórficos geralmente pode ser feito rapidamente, por exemplo, por software como nautye saucy. Por outro lado, Miyazaki construiu classes de instâncias para as quais, nautycomprovadamente, requer tempo exponencial.

Read e Corneil revisaram as muitas tentativas de lidar com a complexidade do IG até aquele momento: The Graph Isomorphism Disease , Journal of Graph Theory 1 , 339-363, 1977.

Não se sabe que GI está em co-NP, mas existe um protocolo aleatório simples para Non-Isomorphism de Gráfico (RNB). Portanto, acredita-se que GI (= co-RNB) esteja "próximo a" NP${}\cap{}$ co-NP.

Por outro lado, se GI estiver NP-completa, a Hierarquia Polinomial entrará em colapso. Portanto, é improvável que o GI seja NP-completo. (Boppana, Håstad, Zachos, co-NP tem provas interativas curtas?, IPL 25 , 127–132, 1987)

Shiva Kintali tem uma boa discussão sobre a complexidade do IG em seu blog.

Laszlo Babai provou que o isomorfismo do gráfico está no tempo subexponencial .

Complexidade da Factoring

Factoring está em ?$\mathsf{P}$

• Consequências da Factoring estar em P?
• Os problemas PRIMES, FACTORING são conhecidos por P-hard?
• Quais são as consequências de fatorar o NP-completo?
• P com oráculo de fatoração inteira
• A evidência para a fatoração de número inteiro está em P (em MO )

P = BPP?

Existe uma regra de giro para o algoritmo simplex que produz o pior tempo de execução polinomial? De maneira mais geral, existe algum algoritmo fortemente polinomial para programação linear?

A hipótese de tempo exponencial (ETH) afirma que resolver SAT requer tempo exponencial de 2 ^{Ω (n)} . ETH implica muitas coisas, por exemplo, que SAT não está em P, então ETH implica P ≠ NP. Veja Impagliazzo, Paturi, Zane, que problemas têm complexidade fortemente exponencial? , JCSS 63, 512-530, 2001.

Acredita-se amplamente que o ETH, mas provavelmente seja difícil de provar, pois implica muitas outras separações de classes de complexidade.

Immerman e Vardi mostram que a lógica de ponto fixo captura PTIME na classe de estruturas ordenadas . Um dos maiores problemas em aberto na teoria descritiva da complexidade é se a dependência da ordem pode ser removida:

Existe uma lógica que captura PTIME?

Simplificando, uma lógica de captura de PTIME é uma linguagem de programação para problemas de gráfico que funciona diretamente na estrutura do gráfico e não tem acesso à codificação dos vértices e arestas, de forma que o seguinte seja válido:

1. qualquer programa sintaticamente correto modela um problema de gráfico computável em tempo polinomial e
2. qualquer problema de gráfico computável em tempo polinomial pode ser modelado por um programa sintaticamente correto.

Se não houver lógica que capture PTIME, pois NP é capturado pela lógica existencial de segunda ordem. Uma lógica que captura o PTIME forneceria um possível ataque ao P vs NP.$P \neq NP$

Veja o blog de Lipton para uma discussão informal e M. Grohe: A busca por uma captura de lógica PTIME (LICS 2008) para uma pesquisa mais técnica.

A conjetura de jogos únicos é verdadeira?
E: considerando que existem algoritmos de aproximação de tempo subexponencial para jogos exclusivos , onde o problema está em termos de cenário de complexidade?

Permanente versus Determinante

A questão permanente versus determinante é interessante por causa de dois fatos. Primeiro, a permanente de uma matriz conta o número de combinações perfeitas em um gráfico bipartido. Portanto, a permanente dessa matriz é # P-Complete. Ao mesmo tempo, a definição de permanente é muito próxima à do determinante, em última análise diferente apenas por causa de uma simples mudança de sinal. Sabe-se que os cálculos determinantes estão em P. O estudo das diferenças entre o permanente e o determinante e quantos cálculos determinantes são necessários para calcular o permanente falam sobre P versus #P.

Podemos calcular a FFT em muito menos do que tempo?$O(n \log n)$

Nas mesmas (muito) veia geral, há muitas perguntas de melhorar os tempos de execução dos diversos problemas clássicos ou algoritmos: por exemplo, podem todos os pares de-menores-caminhos (APSP) ser resolvidos em hora ?$O(n^{3-\epsilon})$

Editar: o APSP é executado no tempo "onde adições e comparações de reais são custo unitário (mas todas as outras operações têm custo típico logarítmica)":http://arxiv.org/pdf/1312.6680v2.pdf$(\frac{n^3}{2^{\Omega(log n)^{1/2}}})$

A conjectura dinâmica de otimalidade para as árvores espalhadas.

Ou de maneira mais geral: alguma árvore de pesquisa binária dinâmica on-line é competitiva O (1)?

Um algoritmo determinístico de tempo linear para o problema mínimo de extensão .

NP versus co-NP

A questão NP versus co-NP é interessante porque NP ≠ co-NP implica P ≠ NP (como P é fechado no complemento). Também se refere à "dualidade": separação entre encontrar / verificar exemplos e encontrar / verificar contra-exemplos. De fato, provar que uma pergunta está em NP e co-NP é nossa primeira boa evidência de que um problema que parece estar fora de P também provavelmente não é NP-Complete.

Existem problemas que não podem ser resolvidos com eficiência por computadores paralelos?

Problemas com P-completo não são conhecidos por serem paralelizáveis. Os problemas de P-completo incluem Horn-SAT e Programação Linear. Mas provar que esse é o caso exigiria a separação de uma noção de problemas paralelizáveis ​​(como NC ou LOGCFL) de P.

Os projetos de processadores de computador estão aumentando o número de unidades de processamento, na esperança de que isso traga um desempenho aprimorado. Se algoritmos fundamentais, como a Programação Linear, não são inerentemente paralelizáveis, há consequências significativas.

Todas as tautologias proposicionais têm provas de Frege de tamanho polinomial?

Indiscutivelmente o principal problema aberto da complexidade da prova : demonstrar limites inferiores do tamanho super-polinomial nas provas proposicionais (também chamadas de provas de Frege).

Informalmente, um sistema de prova de Frege é apenas um sistema de prova proposicional padrão para provar tautologias proposicionais (se aprende em um curso de lógica básica), tendo axiomas e regras de dedução, onde as linhas de prova são escritas como fórmulas. O tamanho de uma prova de Frege é o número de símbolos necessários para anotar a prova.

O problema então pergunta se existe uma família $(F_n)_{n=1}^\infty$ de fórmulas tautológicas proposicionais para as quais não há $p$ polinomial tal que o tamanho mínimo à prova de Frege de $F_n$ seja no máximo $p(|F_n|)$ , por tudo $n=1,2,\ldots$ (onde $|F_n|$ indica o tamanho da fórmula $F_n$ ).

Definição formal de um sistema à prova de Frege

Definição (regra de Frege) Uma regra de Frege é uma sequência de fórmulas proposicionais $A_0(\overline x),\ldots,A_k(\overline x)$ , para $k \le 0$ , escrito como $\frac{A_1(\overline x), \ldots,A_k(\overline x)}{A_0(\overline x)}$ . No caso de$k = 0$, a regra de Frege é chamada deesquema de axioma. Diz-se queuma fórmula$F_0$éderivada pela regrade$F_1,\ldots,F_k$se$F_0,\ldots,F_k$são todas instâncias de substituição de$A_1,\ldots,A_k$, para alguma atribuição àsvariáveis$\overline x$( isto é, existem fórmulas $B_1,\ldots,B_n$ tal que$F_i = A_i(B_1/x_1,\ldots,B_n/x_n),$ para todos os$i=0,\ldots,k$ . Diz-se que aregra de Frege ésólidase, sempre que uma atribuição satisfizer as fórmulas no lado superior $A_1,\ldots,A_k$ , também satisfaz a fórmula no lado inferior$A_0$ .

Definição (prova de Frege) Dado um conjunto de regras de Frege, uma prova de Frege é uma sequência de fórmulas de modo que cada linha de prova é um axioma ou foi derivada por uma das regras de Frege fornecidas a partir de linhas de prova anteriores. Se a sequência termina com a fórmula $A$ , em seguida, a prova é dito ser um comprovante de $A$ . O tamanho de uma prova de Frege é o tamanho total de todas as fórmulas da prova.

Um sistema de prova é dito ser implicationally completa se para todos conjunto de fórmulas $T$ , se $T$ semanticamente implica $F$ , então existe uma prova de $F$ utilizando (possivelmente) axiomas de $T$ . Diz-se que um sistema de prova é bom se admitir provas de apenas tautologias (quando não estiver usando axiomas auxiliares, como no $T$ acima).

Definição (sistema à prova de Frege) Dada uma linguagem proposicional e um conjunto finito $P$ de regras sonoras de Frege, dizemos que $P$ é um sistema à prova de Frege se $P$ é implicationally completa.

Observe que uma prova de Frege é sempre válida, pois as regras de Frege são consideradas válidas. Não precisamos trabalhar com um sistema específico de prova de Frege, pois um resultado básico na complexidade da prova afirma que todos os dois sistemas de prova de Frege, mesmo em idiomas diferentes, são polinomialmente equivalentes [Reckhow, tese de doutorado, Universidade de Toronto, 1976].

Estabelecimento de limites inferiores em provas Frege poderia ser visto como um passo para provar $NP \neq coNP$ , uma vez que se isto for verdadeira, então nenhum sistema prova proposicional (incluindo Frege) pode ter provas tamanho polinomiais para todos os tautologia.

Podemos calcular a distância de edição entre duas cadeias de comprimento no tempo sub-quadrático, ou seja, no tempo O ( n 2 - ϵ ) para alguns ϵ > 0 ?$n$$O(n^{2-\epsilon})$$\epsilon>0$

Existem algoritmos de tempo verdadeiramente subquadrático (significando tempo para alguma constante δ > 0 ) para problemas difíceis de 3SUM ?$O(n^{2-\delta})$$\delta>0$

Em 2014, Grønlund e Pettie descrito um algoritmo determinista por si 3SUM que é executado no tempo . Embora este seja um resultado importante, a melhoria em relação ao O ( n 2 ) é apenas (sub) logarítmica. Além disso, nenhum algoritmo subquadrático semelhante é conhecido para a maioria dos outros problemas difíceis do 3SUM.$O(n^2/(\log n/\log \log n)^{2/3})$$O(n^2)$

BQP = P?

Também: NP contido no BQP?

Eu sei que isso violou as regras ao ter duas perguntas na resposta, mas quando feitas com a pergunta P vs NP, elas não são necessariamente perguntas independentes.

1. Conjectura de Isomorfismo. (Todos os problemas de NP-completos são o "mesmo" problema?)
2. A criptografia pode ser baseada em um problema NP-completo?

e, um pouco mais longe do mainstream:


3. Qual é o tamanho do NP no EXP?

(Informalmente, se você tem todos os problemas no EXP em uma tabela e escolhe um uniformemente aleatoriamente, qual é a probabilidade de o problema escolhido também estar no NP? Esta questão foi formalizada pela noção de medida limitada a recursos Sabe-se que P mede zero dentro de EXP, ou seja, o problema que você pegou da tabela quase certamente não está em P.)

Qual é a aproximabilidade do Metric TSP ? O algoritmo de Christofides de 1975 é um algoritmo de aproximação em tempo polinomial (3/2). É NP-difícil fazer melhor?

• Aproximar o TSP métrico para um fator menor que 220/219 é NP-difícil (Papadimitriou e Vempala, 2006 [PS] ). Que eu saiba, esse é o limite inferior mais conhecido.

• Há alguma evidência sugerindo que o limite real pode ser 4/3 (Carr e Vempala, 2004 [versão gratuita] [boa versão] ).

• $13/9$

Atribua uma função explícita com complexidade de circuito exponencial.

Shannon provou em 1949 que se você escolher uma função booleana aleatoriamente, ela tem complexidade de circuito exponencial com probabilidade quase uma.

$f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$$5n - o(n)$

$\epsilon$$1/\epsilon$$1/\epsilon$

Separe o NEXP do BPP. As pessoas tendem a acreditar em BPP = P, mas ninguém pode separar o NEXP do BPP.

Sei que o OP pediu apenas um problema por postagem, mas as conferências RTA (Técnicas de Reescrita e seus Aplicativos) 1 e TLCA (Typed Lambda Calculi e seus Aplicativos) mantêm listas de problemas em aberto em seus campos 2 . Essas listas são bastante úteis, pois também incluem indicadores para o trabalho anterior feito na tentativa de resolver esses problemas.

Derandomização do problema do Teste de Identidade Polinomial

$P$$P$ identicamente zero?

Esse problema pode ser resolvido em tempo polinomial aleatório, mas não é conhecido por ser solucionável em tempo polinomial determinístico.

$\tau$$P$$\tau$$\tau(P)$$P$$1$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)$

$c$$P\in\mathbb Z[x]$$z(P)\le (1+\tau(P))^c$

Existe um teorema do Quantum PCP?

Existem muitos problemas em aberto no cálculo lambda (digitado e não digitado). Veja a lista de problemas em aberto da TLCA para obter detalhes; há também uma boa versão em PDF sem os quadros.

Eu particularmente gosto do problema # 5:

$F_ω$

O problema do logaritmo discreto está em P?

$G$$q$$g,h \in G$$g$$G$$n \in \mathbb{N}$$g^n = h$$q$

$g^{a b}$$g, g^a$$g^b$$g, g^a, g^b, h \in G$$g^{a b} = h$

Claramente, o DLP é difícil se CDH é difícil e CDH é difícil se DDH é difícil, mas nenhuma redução inversa é conhecida, exceto em alguns grupos. A suposição de que o DDH é difícil é essencial para a segurança de alguns sistemas de criptografia, como ElGamal e Cramer-Shoup .

Jogos de paridade são jogos gráficos de duração infinita para dois jogadores, cujo problema de decisão natural está em NP e co-NP e cujo problema de pesquisa natural em PPAD e PLS.

http://en.wikipedia.org/wiki/Parity_game

Os jogos de paridade podem ser resolvidos em tempo polinomial?

(De maneira mais geral, uma grande questão em aberto em programação matemática é se os problemas de complementaridade linear da matriz P podem ser resolvidos em tempo polinomial?)

A área de complexidade parametrizada possui sua própria carga de problemas em aberto.

Considere os problemas de decisão

• dado $(G,k)$ existe uma cobertura de tamanho de vértice $k$ para o gráfico $G$?
• dado $(F,k)$ existe uma atribuição satisfatória de peso $k$ para a fórmula $F$?
• dado $(G,k)$ existe uma camarilha de tamanho $k$ em um gráfico $G$?
• etc ...

Muitos, MUITOS, problemas combinatórios existem nesta forma. A complexidade parametrizada considera que um algoritmo é "eficiente" se seu tempo de execução for superior ao limite de$f(k)n^c$ Onde $f$ é uma função arbitrária e $c$é uma constante independente de$k$. Em comparação, observe que todos esses problemas podem ser facilmente resolvidos em$n^{O(k)}$.

Essa estrutura modela os casos em que estamos procurando uma pequena estrutura combinatória e podemos oferecer tempo de execução exponencial em relação ao tamanho da solução / testemunha .

Um problema com esse algoritmo (por exemplo, cobertura de vértices) é chamado de FPT ( Fixed Parameter Tractable ).

A complexidade parametrizada é uma teoria madura e possui fortes fundamentos teóricos e apela a aplicações práticas. Os problemas de decisão interessantes para essa teoria formam uma hierarquia de classes muito bem estruturada com problemas completos naturais:

É claro que está aberto se alguma dessas inclusões é estrita ou não. Observe que se$FPT=W[1]$ then SAT has subexponential algorithm (this is non trivial). Last statement connects prameterized complexity with $ETH$ mentioned above.

Also notice that investigating such collapses is not an empty exercise: proving that $W[1]=FPT$ is equivalent to prove that there is a fixed parameter tractable algorithm for finding $k$-cliques.