Conte o número de árvores abrangidas rapidamente

Seja o número de árvores que se estendem em um gráfico com vértices. Existe um algoritmo que calcula em operações aritméticas . Este algoritmo é computado , onde é o Laplaciano de e é a matriz que consiste apenas em 's. Para obter mais informações sobre esse algoritmo, consulte Biggs - Teoria dos grafos algébricos ou esta questão da matemática SE . $t(G)$ $G$ $n$ $t(G)$ $O(n^3)$ $\frac{1}{n^2} \det(J + Q)$ $Q$ $G$ $J$ $1$

Gostaria de saber se existe alguma maneira de calcular $t(G)$ mais rapidamente. (Sim, existem algoritmos mais rápidos que $O(n^3)$ para determinantes da computação, mas estou interessado em alguma nova abordagem.)

Também está interessado em considerar famílias especiais de gráficos (planares, talvez?).

Por exemplo, para gráficos circulantes, $t(G)$ pode ser computado em operações aritméticas $O(n \lg n)$ através da identidade $t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}$ , onde $\lambda_i$ são autovalores diferentes de zero da matriz laplaciana de $G$ , que podem ser calculados rapidamente para gráficos circulantes. (Represente a primeira linha como um polinômio e depois calcule-a na $n$ ésima raiz da unidade - esta etapa usa a transformação Discrete Fourier e pode ser feita em operações aritméticas $O(n \lg n)$ .)

Muito obrigado!

— Finsky
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Sergey, tentei editar sua pergunta para melhorar a clareza. Verifique se entendi sua pergunta corretamente e não introduzi nenhum erro.

— Tyson Williams

Aqui está um exemplo mais geral de famílias gráfico onde encontrar complexidade pode ser feito mais rápido: gráficos Cayley para grupos abelianos

G

$G$ com geradores definir

S

$S$ , tal que

S^{- 1} = S

$S^{-1} = S$ . Sabemos que os valores próprios dessa matriz são

\sum_{h \in S} χ (h)

$\sum_{h \in S} \chi (h)$ , onde

χ

$\chi$ são caracteres diferentes do grupo. Todos os caracteres são fáceis de encontrar (para obter mais informações, consulte este documento ). O cálculo desses caracteres é FFT

n

$n$ dimensional (consulte Cormen et al capítulo sobre FFT), ou seja, pode ser feito em

O (n \lg n)

$O(n \lg n)$ .

— Finsky

Para mais informações sobre os gráficos de Cayley, consulte este livro .

— Finsky

Frequentemente, é mais fácil fazer álgebra linear com o Laplaciano do que com uma matriz geral. Gostaria de saber se isso pode ser relevante.

— Gil Kalai

Você poderia, por favor, ser mais específico, se possível, fornecer alguns exemplos, mesmo que não estejam diretamente relacionados ao tópico em discussão. Obrigado.

— Finsky

É conhecido que, para de treewidth limitada, o Tutte polinomial pode ser avaliado em qualquer utilizando as operações aritméticas. Se estiver conectado, então . $G$ $T(G;x,y)$ $(x,y)$ $O(n)$ $G$ $t(G)=T(G;1,1)$

— Radu Curticapean
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